4) Calcula el área de la región enceirada \( y=\operatorname{Tan}^{-1}(x) \) en \( [0,1] \) \( \int_{0}^{1} \operatorname{Tan}^{-1}(x) d x \quad \) ILA

Queremos calcular el área de la región encerrada definida por   y = arctan(x)  para x en [0, 1]. Esto se expresa mediante la integral   A = ∫₀¹ arctan(x) dx. Para resolverla, utilizamos la técnica de integración por partes. Recordemos que la fórmula de integración por partes es:   ∫ u dv = uv − ∫ v du. Procedemos de la siguiente manera: 1. Seleccionamos:   u = arctan(x) → du = (1/(1 + x²)) dx,   dv = dx    → v = x. 2. Aplicando la fórmula:   ∫₀¹ arctan(x) dx = [x · arctan(x)]₀¹ − ∫₀¹ x/(1 + x²) dx. 3. Evaluamos el primer término:   [x · arctan(x)]₀¹ = 1 · arctan(1) − 0 · arctan(0) = arctan(1) = π/4. 4. Ahora, para la integral ∫₀¹ x/(1 + x²) dx, hacemos un cambio de variable:   Sea u = 1 + x², de donde du = 2x dx, lo que implica que x dx = du/2.   Cuando x = 0, u = 1, y cuando x = 1, u = 2. Así:   ∫₀¹ x/(1 + x²) dx = ∫₁² (1/u) · (du/2) = 1/2 ∫₁² (du/u) = 1/2 [ln|u|]₁² = 1/2 (ln2 − ln1) = 1/2 ln2. 5. Sustituyendo en la expresión original:   ∫₀¹ arctan(x) dx = (π/4) − 1/2 ln2. Por lo tanto, el área de la región encerrada es:   A = (π/4) − (1/2) ln(2).