Determina per quali valori di \( k \) le soluzioni dell'equazione \( (k-2) x^{2}-2 x+3=0 \), con \( k \neq 2 \) a. sono reali e la loro somma e 1 ; b. sono reali e una el lantireciproco dellaltra. [a. Nessun vale a. setermina per quali valori di \( k \) - le soluzioni delléequazione \( k x^{2}-2(k-1) x+k-2=0 \), con aposte:

Per risolvere il problema, analizziamo le due parti separatamente. ### Parte a: Soluzioni reali e somma uguale a 1 L'equazione data è: \[ (k-2)x^2 - 2x + 3 = 0 \] Per trovare i valori di \( k \) per cui le soluzioni sono reali e la loro somma è 1, utilizziamo le seguenti informazioni: 1. **Condizione per le soluzioni reali**: Il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero. 2. **Somma delle soluzioni**: Dalla formula delle radici di un'equazione quadratica, la somma delle soluzioni \( S \) è data da \( S = -\frac{b}{a} \). In questo caso, abbiamo: - \( a = k - 2 \) - \( b = -2 \) - \( c = 3 \) La somma delle soluzioni è: \[ S = -\frac{-2}{k-2} = \frac{2}{k-2} \] Imponiamo che la somma sia uguale a 1: \[ \frac{2}{k-2} = 1 \] Risolvendo questa equazione: \[ 2 = k - 2 \implies k = 4 \] Ora verifichiamo se per \( k = 4 \) le soluzioni sono reali. Calcoliamo il discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(k-2)(3) = 4 - 4(4-2)(3) = 4 - 24 = -20 \] Poiché il discriminante è negativo, non ci sono soluzioni reali per \( k = 4 \). Quindi non ci sono valori di \( k \) per cui le soluzioni sono reali e la loro somma è 1. ### Parte b: Soluzioni reali e una è l'inverso dell'altra In questo caso, se una soluzione è l'inverso dell'altra, possiamo denotare le soluzioni come \( r_1 \) e \( r_2 \) tali che \( r_1 \cdot r_2 = 1 \). Dalla formula delle radici, abbiamo: \[ r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{k-2} \] Imponiamo che il prodotto delle radici sia uguale a 1: \[ \frac{3}{k-2} = 1 \] Risolvendo questa equazione: \[ 3 = k - 2 \implies k = 5 \] Verifichiamo se per \( k = 5 \) le soluzioni sono reali. Calcoliamo il discriminante: \[ D = (-2)^2 - 4(5-2)(3) = 4 - 4(3)(3) = 4 - 36 = -32 \] Poiché il discriminante è negativo, non ci sono soluzioni reali per \( k = 5 \). Quindi non ci sono valori di \( k \) per cui le soluzioni sono reali e una è l'inverso dell'altra. ### Risultato finale a. Nessun valore di \( k \) soddisfa la condizione che le soluzioni siano reali e la loro somma sia 1. b. Nessun valore di \( k \) soddisfa la condizione che le soluzioni siano reali e una sia l'inverso dell'altra.