C \$AP \( \begin{array}{l}\text { Para ilustrar la manera en que podemos modelar situaciones a través del uso de } \\ \text { las matemáticas, suponga el siguiente caso: }\end{array} \) Juan es ebanista y cuenta con un pequeño taller en el cual se dedica a la elaboración de mesas y sillas, las sillas se venden a 120 unidades monetarias (um/u) y las mesas a 150. Suponga por favor que en el taller de ebanistería se utiliza un solo tipo de madera para la elaboración de las mesas y sillas, y que esta madera se compra en unidades de medida de metros cuadrados (m2/u). Debido a su experiencia y los datos que ha venido registrando en su cuaderno de contabilidad, Juan conoce que para elaborar una silla se utilizan 0,7 metros cuadrados de madera y para elaborar una mesa se utilizan 1,4. Juan ha realizado cálculos previos y conoce que el costo de la mano de obra para producir una silla es de 50 unidades monetarias, y una mesa 60. Para la producción mensual de sillas y mesas, el taller dispone de 100 metros cuadrados de madera y 500 unidades monetarias para cubrir los costos de mano de obra. Ahora bien, dado que los recursos con los que se cuenta en la Ebanistería. Juan desea conocer cuál es la combinación de la cantidad de sillas (u) y mesas lu) que debe producir para maximizar sus ingresos en el mes ltenga en cuenta que la función de ingresos está dada por la cantidad de sillas y mesas que se produzcan multiplicadapor los precios de venta de cada productol.

Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}0.7x+1.4y=100\\50x+60y=500\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{1000-14y}{7}\\50x+60y=500\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(50\times \frac{1000-14y}{7}+60y=500\) - step3: Simplify: \(\frac{50\left(1000-14y\right)}{7}+60y=500\) - step4: Multiply both sides of the equation by LCD: \(\left(\frac{50\left(1000-14y\right)}{7}+60y\right)\times 7=500\times 7\) - step5: Simplify the equation: \(50000-280y=3500\) - step6: Move the constant to the right side: \(-280y=3500-50000\) - step7: Subtract the numbers: \(-280y=-46500\) - step8: Change the signs: \(280y=46500\) - step9: Divide both sides: \(\frac{280y}{280}=\frac{46500}{280}\) - step10: Divide the numbers: \(y=\frac{2325}{14}\) - step11: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{1000-14\times \frac{2325}{14}}{7}\) - step12: Calculate: \(x=-\frac{1325}{7}\) - step13: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1325}{7}\\y=\frac{2325}{14}\end{array}\right.\) - step14: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1325}{7}\\y=\frac{2325}{14}\end{array}\right.\) - step15: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(-\frac{1325}{7},\frac{2325}{14}\right)\) Parece que hubo un error al intentar resolver el sistema de restricciones directamente, ya que las soluciones obtenidas son negativas, lo cual no tiene sentido en este contexto. En lugar de resolver el sistema de ecuaciones, vamos a utilizar un método gráfico o de programación lineal para encontrar la solución óptima. ### Paso 1: Graficar las restricciones 1. **Restricción de madera:** \[ 0.7x + 1.4y \leq 100 \] Para encontrar los puntos de intersección, podemos igualar a 100: - Si \( x = 0 \): \[ 1.4y = 100 \implies y = \frac{100}{1.4} \approx 71.43 \] - Si \( y = 0 \): \[ 0.7x = 100 \implies x = \frac{100}{0.7} \approx 142.86 \] 2. **Restricción de mano de obra:** \[ 50x + 60y \leq 500 \] Igualando a 500: - Si \( x = 0 \): \[ 60y = 500 \implies y = \frac{500}{60} \approx 8.33 \] - Si \( y = 0 \): \[ 50x = 500 \implies x = \frac{500}{50} = 10 \] ### Paso 2: Identificar la región factible La región factible se encuentra en el primer cuadrante, donde ambas restricciones se cumplen. Los puntos de intersección de las rectas y los ejes son: - Para la restricción de madera: \( (0, 71.43) \) y \( (142.86, 0) \) - Para la restricción de mano de obra: \( (0, 8.33) \) y \( (10, 0) \) ### Paso 3: Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible Los vértices de la región factible son los puntos donde las restricciones se cruzan. Evaluaremos la función objetivo \( I = 120x + 150y \) en estos puntos: 1. **Punto \( (0, 8.33) \)**: \[ I = 120(0) + 150(8.33) \approx 1249.5 \] 2. **Punto \( (10, 0) \)**: \[ I = 120(10) + 150(0) = 1200 \] 3. **Punto \( (0, 71.43) \)**: \[ I = 120(0) + 150(71.43) \approx 10714.5 \] 4. **Punto \( (142.86, 0) \)**: \[ I = 120(142.86) + 150(0) \approx 17143.2 \] ### Paso 4: Determinar el máximo ingreso Comparando los ingresos calculados, el máximo ingreso se obtiene en el punto \( (0, 71.43) \) con un ingreso de aproximadamente \( 10714.5 \) um. ### Conclusión Para maximizar sus ingresos, Juan debería producir aproximadamente: - **0 sillas** - **71 mesas** Esto le permitirá utilizar completamente sus recursos de madera y mano de obra, maximizando así sus ingresos.