Вычислите определитель \( \Delta_{1} \) в формуле Крамера для системы линейных уравнений \( \left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ 8 x_{1}+3 x_{2}-6 x_{3}=2 \\ 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=-3\end{array}\right. \)

Для нахождения определителя \( \Delta_{1} \) матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, сначала запишем матрицу коэффициентов: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] Теперь вычислим определитель \( \Delta_{1} = \text{det}(A) \) с помощью формулы для 3x3 матрицы: \[ \Delta_{1} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] где элементы матрицы: - \( a = 1, b = 1, c = -1 \) - \( d = 8, e = 3, f = -6 \) - \( g = 4, h = -1, i = 3 \) Теперь подставим значения: \[ \Delta_{1} = 1(3 \cdot 3 - (-6)(-1)) - 1(8 \cdot 3 - (-6)(4)) + (-1)(8 \cdot (-1) - 3 \cdot 4) \] Посчитаем: 1. \( 3 \cdot 3 - (-6)(-1) = 9 - 6 = 3 \) 2. \( 8 \cdot 3 - (-6)(4) = 24 + 24 = 48 \) 3. \( 8 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -8 - 12 = -20 \) Теперь подставляем результаты обратно в определитель: \[ \Delta_{1} = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 48 - 1 \cdot (-20) = 3 - 48 + 20 = 3 - 28 = -25 \] Таким образом, значение определителя \( \Delta_{1} \) равно \( -25 \).