$$ F ^ { \prime } ( x ) ^ { \prime } = \frac { x ^ { 2 } } { 3 } - 9 $$

Question

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Para resolver la ecuación $$ F^{\prime}(x)^{\prime} = \frac{x^{2}}{3} - 9 $$, primero notamos que $$ F^{\prime}(x)^{\prime} $$ es la segunda derivada de $$ F(x) $$, que podemos denotar como $$ F^{\prime\prime}(x) $$. Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como:

$$
F^{\prime\prime}(x) = \frac{x^{2}}{3} - 9
$$

Ahora, para encontrar $$ F^{\prime}(x) $$, necesitamos integrar $$ F^{\prime\prime}(x) $$:

$$
F^{\prime}(x) = \int \left( \frac{x^{2}}{3} - 9 \right) dx
$$

Realicemos la integración paso a paso.

1. **Integrar $$ \frac{x^{2}}{3} $$**:
   $$
   \int \frac{x^{2}}{3} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}
   $$

2. **Integrar $$ -9 $$**:
   $$
   \int -9 dx = -9x
   $$

3. **Combinar los resultados**:
   $$
   F^{\prime}(x) = \frac{x^{3}}{9} - 9x + C_1
   $$
   donde $$ C_1 $$ es la constante de integración.

Ahora, para encontrar $$ F(x) $$, integramos $$ F^{\prime}(x) $$:

$$
F(x) = \int \left( \frac{x^{3}}{9} - 9x + C_1 \right) dx
$$

Realicemos esta integración también paso a paso.

1. **Integrar $$ \frac{x^{3}}{9} $$**:
   $$
   \int \frac{x^{3}}{9} dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{36}
   $$

2. **Integrar $$ -9x $$**:
   $$
   \int -9x dx = -\frac{9}{2} x^{2}
   $$

3. **Integrar $$ C_1 $$**:
   $$
   \int C_1 dx = C_1 x
   $$

4. **Combinar los resultados**:
   $$
   F(x) = \frac{x^{4}}{36} - \frac{9}{2} x^{2} + C_1 x + C_2
   $$
   donde $$ C_2 $$ es otra constante de integración.

Por lo tanto, la solución general para $$ F(x) $$ es:

$$
F(x) = \frac{x^{4}}{36} - \frac{9}{2} x^{2} + C_1 x + C_2
$$
La solución general para $$ F(x) $$ es: $$ F(x) = \frac{x^{4}}{36} - \frac{9}{2} x^{2} + C_1 x + C_2 $$

\( F ^ { \prime } ( x ) ^ { \prime } = \frac { x ^ { 2 } } { 3 } - 9 \)

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