1. \( F(x)=\frac{x+3}{2 x+5} \)

Claro, analicemos la función \( F(x) = \frac{x + 3}{2x + 5} \). ### 1. Dominio de la Función El dominio de una función racional consiste en todos los valores de \( x \) para los cuales el denominador no es cero. \[ 2x + 5 \neq 0 \implies 2x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{2} \] **Dominio:** \( \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{5}{2} \right\} \) ### 2. Asíntotas #### a. Asíntota Vertical Las asíntotas verticales ocurren en los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea cero. \[ x = -\frac{5}{2} \] **Asíntota Vertical:** \( x = -\frac{5}{2} \) #### b. Asíntota Horizontal Para determinar la asíntota horizontal de una función racional, comparamos los grados del polinomio en el numerador y el denominador. - Grado del numerador: 1 - Grado del denominador: 1 Cuando los grados son iguales, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes líderes. \[ y = \frac{1}{2} \] **Asíntota Horizontal:** \( y = \frac{1}{2} \) ### 3. Intersecciones #### a. Intersección con el Eje Y Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( F(0) \). \[ F(0) = \frac{0 + 3}{2(0) + 5} = \frac{3}{5} \] **Intersección con el Eje Y:** \( \left(0, \frac{3}{5}\right) \) #### b. Intersección con el Eje X Para encontrar la intersección con el eje \( x \), resolvemos \( F(x) = 0 \). \[ \frac{x + 3}{2x + 5} = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3 \] **Intersección con el Eje X:** \( (-3, 0) \) ### 4. Comportamiento de la Función - **Para \( x \to \infty \):** \( F(x) \) se aproxima a la asíntota horizontal \( y = \frac{1}{2} \). - **Para \( x \to -\infty \):** \( F(x) \) también se aproxima a \( y = \frac{1}{2} \). - **Cerca de la asíntota vertical \( x = -\frac{5}{2} \):** - Al acercarse por la derecha, \( F(x) \to \infty \). - Al acercarse por la izquierda, \( F(x) \to -\infty \). ### 5. Gráfica de la Función La gráfica de \( F(x) = \frac{x + 3}{2x + 5} \) presenta: - Una asíntota vertical en \( x = -\frac{5}{2} \). - Una asíntota horizontal en \( y = \frac{1}{2} \). - Intersecciones en \( (-3, 0) \) y \( \left(0, \frac{3}{5}\right) \). - Comportamiento que se aproxima a las asíntotas conforme \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \). ### 6. Resumen \[ F(x) = \frac{x + 3}{2x + 5} \] - **Dominio:** \( \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{5}{2} \right\} \) - **Asíntotas:** - Vertical: \( x = -\frac{5}{2} \) - Horizontal: \( y = \frac{1}{2} \) - **Intersecciones:** - Eje \( y \): \( \left(0, \frac{3}{5}\right) \) - Eje \( x \): \( (-3, 0) \) Si necesitas un análisis más detallado o algún otro aspecto específico de la función, no dudes en indicarlo.