Exercices sur les variables alćatoires - Lycéé d'Adultes de Paris Exercice 1: Un joueur lance un dé parfait. Si le numéro sorti est 2 ou 4 , il gagne \( 1,5 € \), si le numéro sonti est impair il Exercice 1: gagne \( 0,5 € \mathrm{et} \), si le 6 sort, il perd \( 5 € \). On appelle X la variable alćatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en curos. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et calculer \( E(\mathrm{X}) \).

On rappelle qu’un dé parfait a les six issues 1, 2, 3, 4, 5, 6, chacune de probabilité 1/6. Le problème indique les gains suivants selon le numéro obtenu :  • Si le numéro est 2 ou 4, le gain est de 1,5 €.  • Si le numéro est impair (1, 3, 5), le gain est de 0,5 €.  • Si le numéro est 6, le joueur perd 5 € (donc gain –5 €). Définissons la variable aléatoire X comme le gain en euros associé à chaque issue. 1) Loi de probabilité de X : – Pour X = 1,5 € : cela correspond aux résultats 2 et 4.   P(X = 1,5) = P(2 ou 4) = 2/6 = 1/3. – Pour X = 0,5 € : cela correspond aux résultats impairs 1, 3, 5.   P(X = 0,5) = 3/6 = 1/2. – Pour X = –5 € : cela correspond au résultat 6.   P(X = –5) = 1/6. On peut résumer la loi de X par le tableau suivant : ------------------------------------------------------- | Valeur de X | –5 | 0,5 | 1,5 | | Probabilité| 1/6 | 1/2 | 1/3 | ------------------------------------------------------- 2) Calcul de l’espérance E(X) : On utilise la formule de l’espérance :   E(X) = Σ [x · P(X = x)]. Calculons :   E(X) = (–5)·(1/6) + (0,5)·(1/2) + (1,5)·(1/3). Calcul pas à pas :  • (–5)·(1/6) = –5/6.  • (0,5)·(1/2) = 0,25 (puisque 0,5 × 0,5 = 0,25).  • (1,5)·(1/3) = 0,5 (car 1,5/3 = 0,5). Donc,   E(X) = –5/6 + 0,25 + 0,5. Pour effectuer la somme, exprimons tous les termes sur le même dénominateur. On peut écrire 0,25 et 0,5 en fractions :   0,25 = 1/4  et 0,5 = 1/2. Le dénominateur commun de 6, 4 et 2 est 12. On a :   –5/6 = –10/12,   1/4 = 3/12,   1/2 = 6/12. Ainsi,   E(X) = (–10/12) + (3/12) + (6/12) = (–10 + 3 + 6)/12 = (–1)/12. Donc,   E(X) = –1/12 € ≈ –0,083 €. Interprétation : Le gain moyen par lancer est négatif, ce qui indique que, sur le long terme, le jeu est désavantageux pour le joueur. Résumé de la réponse : – Loi de probabilité de X :   P(X = 1,5) = 1/3, P(X = 0,5) = 1/2, P(X = –5) = 1/6. – Espérance de gain : E(X) = –1/12 € (environ –0,083 € par lancer).