$$ y ^ { \prime } + x y = 6 x \sqrt { y } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای حل معادله
$$
y' + xy = 6x\sqrt{y}
$$
با گام‌های زیر عمل می‌کنیم.

### گام ۱: جایگزینی

با توجه به حضور عبارت $$\sqrt{y}$$، جایگزینی زیر را در نظر می‌گیریم:
$$
u = \sqrt{y} \quad \Longrightarrow \quad y = u^2.
$$
مشتق $$y$$ نسبت به $$x$$ به صورت زیر به دست می‌آید:
$$
y' = 2u\, u'.
$$

### گام ۲: جایگذاری در معادله

معادله داده شده را جایگذاری می‌کنیم:
$$
2u\,u' + x(u^2) = 6x\, u.
$$
با فرض اینکه $$u \neq 0$$ (یعنی $$y>0$$)، معادله را بر $$u$$ تقسیم می‌کنیم:
$$
2u' + xu = 6x.
$$
حال معادله را به صورت زیر مرتب می‌کنیم:
$$
2u' = 6x - xu \quad \Longrightarrow \quad u' = 3x - \frac{x}{2}u.
$$
این معادله خطی از نوع
$$
u' + p(x) u = q(x)
$$
است که در آن
$$
p(x) = \frac{x}{2} \quad \text{و} \quad q(x) = 3x.
$$

### گام ۳: پیدا کردن فاکتور انتگرالی

فاکتور انتگرالی $$\mu(x)$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int \frac{x}{2}\,dx} = e^{\frac{x^2}{4}}.
$$

### گام ۴: ضرب کردن معادله در فاکتور انتگرالی

معادلهٔ خطی به شکل زیر ضرب می‌شود:
$$
e^{\frac{x^2}{4}}u' + \frac{x}{2}e^{\frac{x^2}{4}}u = 3x\,e^{\frac{x^2}{4}}.
$$
توجه داشته باشید که سمت چپ این معادله برابر است با مشتق حاصلضرب:
$$
\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{x^2}{4}}u\right) = 3x\,e^{\frac{x^2}{4}}.
$$

### گام ۵: انتگرال‌گیری

با انتگرال‌گیری از دو طرف معادله داریم:
$$
e^{\frac{x^2}{4}}u = \int 3x\,e^{\frac{x^2}{4}}\,dx.
$$
برای حل انتگرال سمت راست از جایگزینی استفاده می‌کنیم. بگذارید:
$$
t = \frac{x^2}{4} \quad \Longrightarrow \quad dt = \frac{x}{2}\,dx \quad \Longrightarrow \quad dx = \frac{2}{x}\,dt.
$$
بنابراین:
$$
\int 3x\,e^t \cdot \frac{2}{x}\,dt = \int 6e^t\,dt = 6e^t + C = 6e^{\frac{x^2}{4}} + C.
$$

بنابراین داریم:
$$
e^{\frac{x^2}{4}}u = 6e^{\frac{x^2}{4}} + C.
$$
تقسیم بر $$e^{\frac{x^2}{4}}$$ (که همیشه غیرصفر است) نتیجه می‌دهد:
$$
u = 6 + Ce^{-\frac{x^2}{4}}.
$$

### گام ۶: بازگرداندن متغیر اصلی

از آنجایی که $$u = \sqrt{y}$$، داریم:
$$
\sqrt{y} = 6 + Ce^{-\frac{x^2}{4}}.
$$
با توان دوم کردن هر دو طرف، جواب نهایی معادله به دست می‌آید:
$$
y = \left(6 + Ce^{-\frac{x^2}{4}}\right)^2.
$$

این پاسخ کلی معادله تفاضلی داده شده است.
$$ y = \left(6 + Ce^{-\frac{x^2}{4}}\right)^2 $$

\( y ^ { \prime } + x y = 6 x \sqrt { y } \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions