Question
15. Scomponi in fattori primi il numero sotto radice, ed estrai tutti i fattori con esponente pari. Indica il risultato senza approssimare. a) \( \sqrt{200} \) b) \( \sqrt{2000} \) c) \( \sqrt{576} \) \( [10 \sqrt{2} ; 20 \sqrt{5} ; 24 \)
Ask by Washington Turner. in Italy
Feb 24,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
a) \( 10\sqrt{2} \)
b) \( 20\sqrt{5} \)
c) \( 24 \)
Solution
Procediamo per ciascun punto:
a) √200
Si scompone 200 nei suoi fattori primi:
200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ · 5².
I fattori con esponente pari sono 2² e 5²; rimane 2 (poiché 2³ = 2² · 2).
Quindi,
√200 = √(2² · 5² · 2) = 2 · 5 · √2 = 10√2.
b) √2000
Si scompone 2000 nei suoi fattori primi:
2000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2⁴ · 5³.
I fattori con esponente pari sono 2⁴ e 5² (dal fatto che 5³ = 5² · 5).
Pertanto,
√2000 = √(2⁴ · 5² · 5) = 2² · 5 · √5 = 4 · 5 √5 = 20√5.
c) √576
Si scompone 576 nei suoi fattori primi:
576 = 24² = (2³ · 3)² = 2⁶ · 3².
Essendo tutti gli esponenti pari,
√576 = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
Risultati:
a) 10√2 b) 20√5 c) 24
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Per scomporre \(200\), si ha \(200 = 2^3 \times 5^2\). Estraendo i fattori con esponente pari, otteniamo \( \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \). Scomponendo \(2000\), troviamo \(2000 = 2^4 \times 5^3\). Estraendo i fattori con esponente pari, si ottiene \( \sqrt{2000} = 20 \sqrt{5} \). Infine, \(576\) si scompone in \(576 = 2^6 \times 3^2\), da cui estraiamo \( \sqrt{576} = 24\).
