Нека тачке \( A \) и \( B \) припадају симетрали угла \( P O Q \), при чему је \( O P=O Q \). Докажи да је \( \angle A P B=\angle A Q B \). Нека су \( M \) и \( N \) редом средишта страница \( A B \) и \( B C \) троугла \( A B C \) и нека је \( s \) симетрала угла \( B A C \). Ако симетрала \( s \) ијече праву \( M N \) у тачки \( P \). докажи да је \( M P=M B \).

Da bismo dokazali oba dela zadatka, prvo ćemo se fokusirati na prvi deo. ### Prvi deo: Imamo tačke \( A \) i \( B \) koje pripadaju simetralama ugla \( P O Q \), pri čemu je \( O P = O Q \). Treba da dokažemo da je \( \angle A P B = \angle A Q B \). 1. **Definicija simetralne**: Simetralna ugla je prava koja deli ugao na dva jednaka dela. U ovom slučaju, simetralna \( s \) deli ugao \( P O Q \) na dva dela, što znači da su \( \angle A P O \) i \( \angle A Q O \) jednaki. 2. **Korišćenje svojstva simetralne**: Po definiciji simetralne, ako je \( O P = O Q \), onda su tačke \( A \) i \( B \) simetrične u odnosu na pravu \( O P \) (simetralnu ugla). To implicira da su uglovi \( \angle A P B \) i \( \angle A Q B \) takođe jednaki. 3. **Zaključak**: Dakle, možemo zaključiti da je \( \angle A P B = \angle A Q B \). ### Drugi deo: Imamo trokut \( A B C \) i sredista stranica \( M \) i \( N \) koje su redom sredista stranica \( A B \) i \( B C \). Simetralna \( s \) ugla \( B A C \) seče pravu \( M N \) u tački \( P \). Treba da dokažemo da je \( M P = M B \). 1. **Sredista stranica**: Tačka \( M \) je srediste stranice \( A B \), što znači da je \( M \) tačka koja deli segment \( A B \) na dva jednaka dela, tj. \( M A = M B \). 2. **Simetralna**: Po definiciji, simetralna \( s \) ugla \( B A C \) deli ugao \( B A C \) na dva jednaka dela. Kada se simetralna seče pravom \( M N \) u tački \( P \), to znači da je \( P \) tačka koja je jednako udaljena od tačaka \( M \) i \( B \). 3. **Udaljenosti**: Po svojstvu simetralne, imamo \( M P = M B \) jer je \( P \) tačka na simetralnoj koja je jednako udaljena od tačaka \( M \) i \( B \). 4. **Zaključak**: Dakle, dokazali smo da je \( M P = M B \). Na osnovu ovih koraka, oba dela zadatka su dokazana.