1. El punto P 1 tiene su abscisa igual a su ordenada. Si las coordenadas de P 2 son: \( (2 ; 8) \) y la distancia \( \mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2} \) vale 6 unidades, halle las coordenadas de P1.

Para resolver este problema, sabemos que el punto \( P_1 \) tiene sus coordenadas igualadas, es decir, \( P_1 = (a, a) \). Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Sustituyendo las coordenadas de \( P_1 \) y \( P_2 \) y la distancia: \[ 6 = \sqrt{(2 - a)^2 + (8 - a)^2} \] Elevando al cuadrado ambos lados: \[ 36 = (2 - a)^2 + (8 - a)^2 \] Expandiendo y simplificando: \[ 36 = (4 - 4a + a^2) + (64 - 16a + a^2) \] \[ 36 = 68 - 20a + 2a^2 \] \[ 0 = 2a^2 - 20a + 32 \] \[ 0 = a^2 - 10a + 16 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática \( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm 6}{2} \] Esto da dos soluciones: \[ a = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{o} \quad a = \frac{4}{2} = 2 \] Por lo tanto, las coordenadas de \( P_1 \) son \( (8, 8) \) o \( (2, 2) \). Sin embargo, dado que \( P_2 \) es \( (2, 8) \), la solución \( (2, 2) \) no es válida. Así que las coordenadas de \( P_1 \) son \( (8, 8) \).