Dada la función de ingreso \( \mathrm{r}=240 \mathrm{q}+57 \mathrm{q}^{2}-\mathrm{q}^{3} \), la producción para oblener el ingreso máximo será: Seleccione una: a. 70 b. 40 c. 30 d. 60

Para determinar la producción que maximiza el ingreso dado por la función \( \mathrm{r}=240 \mathrm{q}+57 \mathrm{q}^{2}-\mathrm{q}^{3} \), seguiremos estos pasos: 1. **Calcular la derivada de la función de ingreso respecto a \( \mathrm{q} \):** \[ \frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{q}} = 240 + 114\mathrm{q} - 3\mathrm{q}^2 \] 2. **Encontrar los puntos críticos igualando la derivada a cero:** \[ 240 + 114\mathrm{q} - 3\mathrm{q}^2 = 0 \] Simplificando: \[ 3\mathrm{q}^2 - 114\mathrm{q} - 240 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{q}^2 - 38\mathrm{q} - 80 = 0 \] 3. **Resolver la ecuación cuadrática:** Utilizando la fórmula cuadrática: \[ \mathrm{q} = \frac{38 \pm \sqrt{38^2 + 4 \cdot 80}}{2} = \frac{38 \pm \sqrt{1764}}{2} = \frac{38 \pm 42}{2} \] Esto da dos soluciones: \[ \mathrm{q}_1 = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{y} \quad \mathrm{q}_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Como la producción no puede ser negativa, descartamos \( \mathrm{q}_2 \). 4. **Conclusión:** La producción que maximiza el ingreso es \( \mathrm{q} = 40 \). **Respuesta correcta:** **b. 40**