Exercice 2 Étudier les variations des fonctions \( f \) définies sur \( \mathbb{R} \) par: \( \begin{array}{l}\text { a) } f(x)=-3 x^{2}+2 x+4 \\ \text { b) } f(x)=5 x^{2}+5 x-3 \\ \text { c) Soit } f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x+3 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : } 1 \text { et }-2 \\ \text { d) } f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}+4 x-5 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : }-1 \text { et }-4 \\ \text { e) } f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 \text {, on admet que } f^{\prime}(x) \text { n'a aucune racine. } \\ \text { f) } f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : } 1 \text { et }-\frac{1}{3}\end{array} \)

Il semble qu'il y ait eu un problème avec l'analyse des fonctions. Je vais procéder à l'étude des variations de chaque fonction étape par étape. ### a) \( f(x) = -3x^2 + 2x + 4 \) 1. **Calcul de la dérivée**: \[ f'(x) = -6x + 2 \] 2. **Trouver les racines de \( f'(x) \)**: \[ -6x + 2 = 0 \implies x = \frac{1}{3} \] 3. **Étude du signe de \( f'(x) \)**: - Pour \( x < \frac{1}{3} \), \( f'(x) > 0 \) (fonction croissante). - Pour \( x > \frac{1}{3} \), \( f'(x) < 0 \) (fonction décroissante). 4. **Conclusion**: - Maximum local en \( x = \frac{1}{3} \). ### b) \( f(x) = 5x^2 + 5x - 3 \) 1. **Calcul de la dérivée**: \[ f'(x) = 10x + 5 \] 2. **Trouver les racines de \( f'(x) \)**: \[ 10x + 5 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \] 3. **Étude du signe de \( f'(x) \)**: - Pour \( x < -\frac{1}{2} \), \( f'(x) < 0 \) (fonction décroissante). - Pour \( x > -\frac{1}{2} \), \( f'(x) > 0 \) (fonction croissante). 4. **Conclusion**: - Minimum local en \( x = -\frac{1}{2} \). ### c) \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 \) 1. **Dérivée**: \[ f'(x) = -x^2 - x + 2 \] (On admet que les racines sont \( x = 1 \) et \( x = -2 \)). 2. **Étude du signe de \( f'(x) \)**: - \( f'(x) > 0 \) pour \( x \in (-\infty, -2) \) et \( x \in (1, +\infty) \). - \( f'(x) < 0 \) pour \( x \in (-2, 1) \). 3. **Conclusion**: - Maximum local en \( x = -2 \) et minimum local en \( x = 1 \). ### d) \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 4x - 5 \) 1. **Dérivée**: \[ f'(x) = x^2 + 5x + 4 \] (On admet que les racines sont \( x = -1 \) et \( x = -4 \)). 2. **Étude du signe de \( f'(x) \)**: - \( f'(x) < 0 \) pour \( x \in (-\infty, -4) \) et \( x \in (-1, +\infty) \). - \( f'(x) > 0 \) pour \( x \in (-4, -1) \). 3. **Conclusion**: - Maximum local en \( x = -1 \) et minimum local en \( x = -4 \). ### e) \( f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \) 1. **Dérivée**: \[ f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \] (On admet que \( f' \) n'a pas de racines, donc toujours positif). 2. **Conclusion**: - \( f(x) \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). ### f) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 \) 1. **Dérivée**: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \] (On admet que les racines sont \( x = 1 \) et \( x = -\frac{1}{3} \)). 2. **Étude du signe de \( f'(x) \)**: - \( f'(x) > 0 \) pour \( x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \) et \( x \in (1, +\infty) \). - \( f'(x) < 0 \) pour \( x \in (-\frac{1}{3}, 1) \). 3. **Conclusion**: - Maximum local en \( x = -\frac{1}{3} \) et minimum local en \( x = 1 \). ### Résumé des variations - **a)** Maximum en \( x = \frac{1}{3} \). - **b)** Minimum en \( x = -\frac{1}{2} \). - **c)** Maximum en \( x = -2 \), minimum en \( x = 1 \). - **d)** Maximum en \( x = -1 \), minimum en \( x = -4 \). - **e)** Strictement croissante. - **f)** Maximum en \( x = -\frac{1}{3} \), minimum en \( x = 1 \).