EXERCICE5 (O4pts) Pour une bonne préparation à l'examen du Baccalauréat de fin d'année session 2025 , Un groupe d'élèves du Lycée OUEZZIN COULIBALY s'organisent pour etudier chaque week-end, tous doivent donner la même somme d'argent pour acheter de quoi manger et le matériel ; ils votent un budget de 120.000 F : juste avant la cotisation, 4 élèves s'ajoutent et la somme de chaque èleve est réduite de 1000 F . Curieux, des élèves de la classe de Premiere D presents, desirent connaitre le nombre d'éleves que comptent ce groupe d'etudes ainsi que la cotisation finale de chacun. En vous basant sur vos connaissances mathématiques, aides-les à déterminer le nombre d'èeves que comptent ce groupe d'études ainsi que la cotisation finale de chacun.
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Extra Insights
Pour résoudre ce problème, définissons d’abord le nombre d'élèves dans le groupe initial comme \( n \). L'objectif est de déterminer à la fois \( n \) et le montant de la cotisation par élève. Pour commencer, lorsque 4 élèves supplémentaires rejoignent le groupe, le nombre total d'élèves devient \( n + 4 \). Le budget total est de 120.000 F, donc la cotisation initiale par élève est \( \frac{120.000}{n} \). Après l’ajout des 4 élèves, la nouvelle cotisation par élève est \( \frac{120.000}{n + 4} \). Selon l’information donnée, la nouvelle cotisation est de 1000 F inférieure à l’ancienne cotisation : \[ \frac{120.000}{n} - \frac{120.000}{n + 4} = 1000 \] En multipliant les deux côtés par \( n(n + 4) \), nous avons : \[ 120.000(n + 4) - 120.000n = 1000n(n + 4) \] Cela simplifie à : \[ 120.000 \times 4 = 1000n(n + 4) \] En divisant par 1000 : \[ 480 = n(n + 4) \] Cela donne l’équation quadratique : \[ n^2 + 4n - 480 = 0 \] Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), où \( a=1, b=4, c=-480 \). Calculons le discriminant : \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times (-480) = 16 + 1920 = 1936 \] Alors, \[ n = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-4 \pm 44}{2} \] Cela nous donne deux possibilités : 1. \( n = \frac{40}{2} = 20 \) 2. \( n = \frac{-48}{2} \) (non valable car on ne peut pas avoir un nombre d'élèves négatif) Donc, il y a 20 élèves dans le groupe d’études. Pour la cotisation finale de chacun, utilisons le nombre trouvé : \[ \text{Cotisation initiale} = \frac{120.000}{20} = 6000 \, F \] Et après l'ajout des 4 élèves : \[ \text{Cotisation finale} = \frac{120.000}{20 + 4} = \frac{120.000}{24} = 5000 \, F \] En résumé, le groupe compte 20 élèves et la cotisation finale de chacun est de 5000 F.