Answer
### E2. Deux cercles tangents intériquement
**Conclusion :**
Il y a deux cas possibles pour le rayon du second cercle : 3 cm ou 11 cm.
### E3. Construction d'un cercle et recherche d'un point
**Conclusion :**
Il peut y avoir 0, 1, ou 2 points sur le cercle à 4 cm de \( A \), selon la position de \( A \). Ce n'est pas toujours possible de trouver un tel point.
Solution
### E2. Deux cercles tangents intériquement
**Conditions connues :**
- Distance entre les centres des cercles : \( d = 4 \) cm
- Rayon du premier cercle : \( r_1 = 7 \) cm
**Analyse :**
Pour que deux cercles soient tangents intériquement, la distance entre leurs centres doit être égale à la différence de leurs rayons. Soit \( r_2 \) le rayon du second cercle. La relation entre les rayons et la distance est donnée par :
\[
d = |r_1 - r_2|
\]
En substituant les valeurs connues :
\[
4 = |7 - r_2|
\]
Cela nous donne deux cas à considérer :
1. \( 7 - r_2 = 4 \)
2. \( r_2 - 7 = 4 \)
**Résolution des cas :**
1. Pour le premier cas :
\[
7 - r_2 = 4 \implies r_2 = 3 \text{ cm}
\]
2. Pour le second cas :
\[
r_2 - 7 = 4 \implies r_2 = 11 \text{ cm}
\]
**Conclusion :**
Il y a donc deux cas possibles pour le rayon du second cercle : \( r_2 = 3 \) cm ou \( r_2 = 11 \) cm.
### Construction de la figure :
1. Tracez un cercle de rayon \( 7 \) cm (C1) avec un centre \( O_1 \).
2. Tracez un cercle de rayon \( 3 \) cm (C2) avec un centre \( O_2 \) tel que la distance \( O_1O_2 = 4 \) cm.
3. Tracez un cercle de rayon \( 11 \) cm (C3) avec un centre \( O_2' \) tel que la distance \( O_1O_2' = 4 \) cm.
### E3. Construction d'un cercle de centre \( O \) et de rayon \( 6 \) cm
**Construction :**
1. Tracez un cercle de centre \( O \) et de rayon \( 6 \) cm.
2. Marquez un point \( A \) à l'extérieur du cercle.
**Trouver un point sur le cercle à 4 cm de \( A \) :**
Pour trouver un point \( P \) sur le cercle tel que la distance \( AP = 4 \) cm, nous devons tracer un cercle de centre \( A \) et de rayon \( 4 \) cm.
**Analyse des solutions :**
Les points \( P \) qui satisfont cette condition se trouvent à l'intersection du cercle de centre \( O \) et du cercle de centre \( A \).
1. Si la distance \( OA \) est supérieure à \( 10 \) cm (c'est-à-dire \( 6 + 4 \)), il n'y a pas d'intersection.
2. Si la distance \( OA \) est égale à \( 10 \) cm, il y a une intersection (un point).
3. Si la distance \( OA \) est inférieure à \( 10 \) cm mais supérieure à \( 2 \) cm (c'est-à-dire \( 6 - 4 \)), il y a deux intersections.
4. Si la distance \( OA \) est égale à \( 2 \) cm, il y a une intersection (un point).
5. Si la distance \( OA \) est inférieure à \( 2 \) cm, il n'y a pas d'intersection.
**Conclusion :**
Il peut y avoir 0, 1 ou 2 solutions selon la position du point \( A \) par rapport au cercle. Ce n'est pas toujours possible de trouver un point sur le cercle à 4 cm de \( A \).
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