(2) Resduri la siguonte equación byaritnica \( \log _{5}\left(11-x^{2}\right)+\log _{5}(2)=2 \log _{5}(-x+5) \)

Para resolver la ecuación logarítmica: \[ \log _{5}\left(11 - x^{2}\right) + \log _{5}(2) = 2 \log _{5}(-x + 5) \] **Paso 1: Combinar los logaritmos del lado izquierdo** Utilizamos la propiedad de los logaritmos que establece que \(\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)\): \[ \log _{5}\left(2 \cdot (11 - x^{2})\right) = \log _{5}\left((-x + 5)^{2}\right) \] **Paso 2: Igualar los argumentos de los logaritmos** Dado que \(\log_b A = \log_b B\) implica que \(A = B\) (siempre que \(A > 0\) y \(B > 0\)): \[ 2(11 - x^{2}) = (-x + 5)^{2} \] **Paso 3: Expandir y simplificar la ecuación cuadrática** Expandimos el lado derecho: \[ 2(11 - x^{2}) = x^{2} - 10x + 25 \] Distribuimos el 2 en el lado izquierdo: \[ 22 - 2x^{2} = x^{2} - 10x + 25 \] Llevamos todos los términos al mismo lado para formar una ecuación cuadrática estándar: \[ -3x^{2} + 10x - 3 = 0 \] Multiplicamos por \(-1\) para simplificar: \[ 3x^{2} - 10x + 3 = 0 \] **Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática** Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \] Por lo tanto, las soluciones son: \[ x_{1} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_{2} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] **Paso 5: Verificar las soluciones en la ecuación original** Es necesario asegurarse de que los argumentos de los logaritmos sean positivos. 1. Para \(x = 3\): - \(11 - x^{2} = 11 - 9 = 2 > 0\) - \(-x + 5 = -3 + 5 = 2 > 0\) 2. Para \(x = \frac{1}{3}\): - \(11 - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 11 - \frac{1}{9} = \frac{98}{9} > 0\) - \(-\frac{1}{3} + 5 = \frac{14}{3} > 0\) Ambas soluciones cumplen con las condiciones necesarias. **Respuesta Final:** Las soluciones de la ecuación son \(x = 3\) y \(x = \frac{1}{3}\).