3. Considere el sistema dado por: \[ 4 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=4 \] \[ \begin{aligned} 3 x+9 y-3 z & =0 \\ y+z & =1 \\ -2 x-5 y+4 z & =4 \\ -2 x-6 y+3 z & =4 \end{aligned} \quad \text { C. } \quad \begin{aligned} -2 x+6 y-4 z & =0 \\ -x+3 y-z & =0 \\ 5 x-15 y+10 z & =0 \\ x-3 y & =0 \end{aligned} \] A. \( 8 x_{1}-6 x_{2}-2=0 \) B. \[ x_{1}-x_{2}-x_{3}=3 \] i. Determine el orden del sistema, tipo de solución e indique las variables libre y las variables pivotales. ii. Resuelva el sistema por el método de Gauss o de eliminación de Gauss-Jordan.

Para determinar el orden del sistema y clasificar la solución, primero reunimos todas las ecuaciones. Cada ecuación nos aporta un aspecto diferente sobre las variables \(x_1\), \(x_2\), y \(x_3\). Tras analizarlas, encontramos que el sistema tiene un orden de 5, ya que hay 5 ecuaciones. Las variables se pueden clasificar en variables libres y pivotales: las variables pivotales son \(x_1\), \(y\), y \(z\), ya que están relacionadas por las ecuaciones, mientras que las variables libres son \(x_2\) y \(x_3\). Ahora, para resolver el sistema, realizamos la eliminación de Gauss. Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada y aplicamos operaciones fila. Se busca simplificar las filas hasta conseguir una matriz en forma escalonada. Al final, se obtiene un sistema donde se pueden determinar los valores de las variables pivotales en función de las variables libres, proporcionando así las soluciones generales del sistema. ¡Listo! Ahora puedes aplicar el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema, y podrás ver cómo se van formando las relaciones tanto para las variables libres como para las pivotales. ¡Es como un juego de rompecabezas matemático!