DADO EL SISTEMA DE ECUACIONES DE \( 2 x 2 \), USA LA MATRIZ INVERSA \( 2 x+5 y=9 \) \( 6 x+16 y=32 \)

Para resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz inversa, primero escribimos el sistema en forma matricial: \[ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 32 \end{pmatrix} \] Denotamos la matriz de coeficientes como \( A \), el vector de variables como \( \vec{X} \), y el vector de constantes como \( \vec{B} \): \( A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}, \quad \vec{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \vec{B} = \begin{pmatrix} 9 \\ 32 \end{pmatrix} \) Luego, calculamos la matriz inversa de \( A \), \( A^{-1} \), usando la fórmula \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \). Primero, encontramos el determinante de \( A \): \[ \text{det}(A) = (2)(16) - (5)(6) = 32 - 30 = 2 \] Luego, encontramos la matriz de adjuntos: \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 16 & -5 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la inversa de \( A \) es: \[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 16 & -5 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -2.5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \] Finalmente, multiplicamos \( A^{-1} \) por \( \vec{B} \) para encontrar \( \vec{X} \): \[ \vec{X} = A^{-1} \cdot \vec{B} = \begin{pmatrix} 8 & -2.5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (8)(9) + (-2.5)(32) \\ (-3)(9) + (1)(32) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 72 - 80 \\ -27 + 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la solución es \( x = -8 \) y \( y = 5 \).