Calculate the area of the circle for med by the following equation using integration \( (x-7)^{2}+(y+5)^{2}=25 \)

Queremos calcular el área de la circunferencia definida por   (x – 7)² + (y + 5)² = 25 Usaremos el método de integración en coordenadas cartesianas. 1. Identificación de la circunferencia: La ecuación es la de una circunferencia con centro (7, –5) y radio r = √25 = 5. Por tanto, el área conocida sería A = πr² = 25π. Sin embargo, demostraremos este resultado mediante integración. 2. Expresar la ecuación en función de y: La ecuación se puede escribir como   (y + 5)² = 25 – (x – 7)² Resolviendo para y obtenemos dos funciones (la parte “superior” e “inferior” de la circunferencia):   y = –5 + √(25 – (x – 7)²)  (½ superior)   y = –5 – √(25 – (x – 7)²)  (½ inferior) 3. Definir el área como la integral de la diferencia de las dos ramas: El diferencial de área en x es la distancia vertical entre ambas ramas. La diferencia es:   [–5 + √(25 – (x – 7)²)] – [–5 – √(25 – (x – 7)²)] = 2√(25 – (x – 7)²) Los límites en x corresponden a donde la raíz se hace cero, es decir:   25 – (x – 7)² = 0 → (x – 7)² = 25 → x – 7 = ±5 → x = 2 y x = 12 4. Montar la integral: El área A se obtiene como   A = ∫[x=2]^[12] 2√(25 – (x – 7)²) dx 5. Haciendo el cambio de variable: Sea u = x – 7, de donde du = dx. Cuando x = 2, u = 2 – 7 = –5; cuando x = 12, u = 12 – 7 = 5. La integral se transforma en:   A = 2 ∫[u=–5]^[5] √(25 – u²) du 6. Evaluar la integral: La integral ∫[u=–a]^[a] √(a² – u²) du es conocida y vale (πa²)/2. Con a = 5, se tiene   ∫[–5]^[5] √(25 – u²) du = (25π)/2 Por tanto,   A = 2 · (25π/2) = 25π Conclusión: El área de la circunferencia es 25π.