9. Si \( a b+b c+a c=0 \), determina el valor de: \[ F=\frac{(a+b+c)^{3}+3 a b c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \]

Para resolver el problema, partimos de la igualdad dada: \[ ab + bc + ac = 0. \] Esto nos sugiere que podemos considerar \( c = -\frac{ab}{a+b} \). Sin embargo, para facilitar el análisis, simplemente utilizaremos las identidades de suma de cubos y la relación entre los términos. Sabemos que: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc). \] En nuestro caso, como \( ab + ac + bc = 0 \), se simplifica a: \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. \] Ahora examinemos el numerador \( F \): \[ F = \frac{(a+b+c)^3 + 3abc}{a^3 + b^3 + c^3}. \] Utilizando la identidad para el cubo de una suma, tenemos: \[ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a). \] Como también sabemos que \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \), sustituimos: \[ (a+b+c)^3 = 3abc + 3(a+b)(b+c)(c+a). \] Ahora, el numerador de \( F \) se convierte en: \[ 3abc + 3abc = 6abc. \] Pasamos ahora al denominador: \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. \] Por lo tanto, sustituimos todo en \( F \): \[ F = \frac{6abc}{3abc} = 2. \] Finalmente, el valor de \( F \) es: \[ \boxed{2}. \]