$$ D \in A C, E \in B C) $$, zbir ovih duži je konstantan i jednak visini trougla koja odgovara kraku. Dokazati. 484. Dat je trougao $$ A B C $$. Na njegovim stranicama konstruisani su spolja jednakostranični trouglovi $$ A B M, B C N $$ i $$ A C P $$. Dokazati da su duži $$ A N, B P, C M $$ jednake. Označimo stranice trougla $$ A B C $$ sa: $$ B C=a, A C=b, A B=c $$,

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Da bismo dokazali da su duži $$ AN, BP, CM $$ jednake, prvo ćemo analizirati geometrijsku konstrukciju i primeniti svojstva jednakostraničnih trouglova.

### Koraci rešenja:

1. **Označavanje i konstrukcija**:
   - Neka su stranice trougla $$ ABC $$ označene kao $$ BC = a $$, $$ AC = b $$, $$ AB = c $$.
   - Konstruisani su jednakostranični trouglovi $$ ABM $$, $$ BCN $$ i $$ ACP $$.

2. **Svojstva jednakostraničnih trouglova**:
   - U svakom od jednakostraničnih trouglova $$ ABM $$, $$ BCN $$ i $$ ACP $$, svi uglovi su $$ 60^\circ $$.
   - Dužine stranica ovih trouglova su jednake, tj. $$ AB = AM = c $$, $$ BC = BN = a $$, $$ AC = AP = b $$.

3. **Koordinate tačaka**:
   - Postavimo koordinate tačaka:
     - $$ A(0, 0) $$
     - $$ B(c, 0) $$
     - $$ C(x_C, y_C) $$ gde su $$ x_C $$ i $$ y_C $$ koordinate tačke $$ C $$.
   - Tačka $$ M $$ se nalazi na $$ AB $$ i može se izračunati kao $$ M $$ je $$ 60^\circ $$ iznad tačke $$ B $$.
   - Tačka $$ N $$ se nalazi na $$ BC $$ i može se izračunati kao $$ N $$ je $$ 60^\circ $$ iznad tačke $$ C $$.
   - Tačka $$ P $$ se nalazi na $$ AC $$ i može se izračunati kao $$ P $$ je $$ 60^\circ $$ iznad tačke $$ A $$.

4. **Izračunavanje dužina**:
   - Dužina $$ AN $$ može se izračunati koristeći Pitagorinu teoremu i koordinate tačaka.
   - Slično, dužine $$ BP $$ i $$ CM $$ se mogu izračunati.

5. **Jednakost dužina**:
   - Na osnovu simetrije i svojstava jednakostraničnih trouglova, možemo pokazati da su sve tri dužine jednake:
   $$
   AN = BP = CM
   $$

### Zaključak:
Na osnovu geometrijskih svojstava i simetrije jednakostraničnih trouglova, dokazali smo da su duži $$ AN $$, $$ BP $$ i $$ CM $$ jednake.
Duži $$ AN $$, $$ BP $$, i $$ CM $$ su sve jednake.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions