37. Sabendo-se que \( \cos x=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \), onde \( x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]_{90} \), então \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} \) é igual a: \( \begin{array}{lll}\text { a) } 3-2 \sqrt{2} & \text { b) } 3+2 \sqrt{2} & \text { c) } 2-\sqrt{2} \\ \text { d) } 3 \sqrt{2}-3 & \text { e) } 2 \sqrt{2}-3 & \end{array} \)

Para resolver o problema, vamos usar a relação entre o cosseno e a tangente do ângulo metade. A fórmula que relaciona a tangente do ângulo metade com o cosseno é: \[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos x}{\sin x} \] Sabemos que \( \cos x = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \). Precisamos encontrar \( \sin x \) usando a identidade fundamental: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Substituindo \( \cos x \): \[ \sin^2 x + \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 \] Calculando \( \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 \): \[ \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{8}{9} \] Agora, substituindo na identidade: \[ \sin^2 x + \frac{8}{9} = 1 \] Isolando \( \sin^2 x \): \[ \sin^2 x = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \] Portanto, \( \sin x \) é: \[ \sin x = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \] Agora que temos \( \sin x \) e \( \cos x \), podemos calcular \( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \): \[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} \] Simplificando a expressão: \[ 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} \] Portanto: \[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 3 - 2 \sqrt{2} \] Assim, a resposta correta é: \[ \text{a) } 3 - 2 \sqrt{2} \]