11. (ITA 2007) Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão \( r \), então \( r \) pertence ao intervalo a) \( (0,(1+\sqrt{2}) / 2) \) b) \( ((1+\sqrt{2}) / 2, \sqrt{(1+\sqrt{5}) / 2}) \) c) \( ((\sqrt{5}-1) / 2,(\sqrt{5}+1) / 2) \) d) \( ((1+\sqrt{5}) / 2, \sqrt{2+\sqrt{2} / 2}) \) e) \( (\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}},(2+\sqrt{3}) / 2) \)

Para resolver este problema, vamos considerar as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo em progressão geométrica de razão \( r \). Seja \( a \) a medida do lado mais curto do triângulo e \( r \) a razão da progressão geométrica. Então, as medidas dos lados do triângulo são \( a \), \( ar \) e \( ar^2 \). Sabemos que no triângulo obtusângulo, a medida do lado mais longo é maior do que a soma das medidas dos outros dois lados. Portanto, temos a seguinte desigualdade: \[ ar^2 > a + ar \] Simplificando a desigualdade, temos: \[ r^2 > 1 + r \] Isso pode ser reescrito como: \[ r^2 - r - 1 > 0 \] Para encontrar o intervalo de valores de \( r \) que satisfazem a desigualdade, podemos resolver a desigualdade quadrática: \[ r^2 - r - 1 > 0 \] A solução da desigualdade quadrática é: \[ r < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad r > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \] Portanto, o intervalo de valores de \( r \) que satisfazem a desigualdade é: \[ r \in \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \] Portanto, a resposta correta é a opção c) \( ((\sqrt{5}-1) / 2,(\sqrt{5}+1) / 2) \).