Identifica cuáles de los siguientes polinomios están bien definidos: a. P(x)=5 x^3+1 / 2 x^2-x, b. Q(x)=x+1, c. R(x)=3 x^(-2)-5 x+6, d. M(x)=7x, e. A(x)=2 x^3+x^(1 / 2)-3, f. I(x)=3 x^2-5 x+6, g. C(x)=-3mnx-6nm x^2, h. D(x)=x^5-1/4 x-1, i. G(x)=-3 x^(-2)+8 x^(-5)-4, j. F(x)=-6

1. Recordemos que un polinomio en la variable x es una expresión de la forma \[ P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \] donde cada exponente \(n, n-1, \dots, 1, 0\) es un número entero no negativo y los coeficientes \(a_i\) son constantes. 2. Analizamos cada caso: - **a. \( P(x)=5 x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-x \)** Los exponentes son \(3\), \(2\) e \(1\) (implícito en \(-x\)), todos enteros no negativos. \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **b. \( Q(x)=x+1 \)** Los exponentes son \(1\) (en \(x\)) y \(0\) (el término constante). \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **c. \( R(x)=3 x^{-2}-5 x+6 \)** El término \(3x^{-2}\) tiene exponente \(-2\), que es negativo. \(\Rightarrow\) No está bien definido como polinomio. - **d. \( M(x)=7x \)** Contiene \(7x\) (exponente \(1\)). \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **e. \( A(x)=2 x^{3}+x^{1/2}-3 \)** El término \(x^{1/2}\) tiene exponente \(1/2\), que no es entero. \(\Rightarrow\) No está bien definido como polinomio. - **f. \( I(x)=3 x^{2}-5 x+6 \)** Los exponentes son \(2\), \(1\) y \(0\). \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **g. \( C(x)=-3mnx-6nmx^{2} \)** La expresión se escribe como: \[ C(x)=(-3mn)x + (-6nm)x^{2}. \] Suponiendo que \(m\) y \(n\) son constantes, los coeficientes son constantes y los exponentes (\(1\) y \(2\)) son enteros no negativos. \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **h. \( D(x)=x^{5}-\frac{1}{4}x-1 \)** Los exponentes son \(5\), \(1\) y \(0\). \(\Rightarrow\) Está bien definido. - **i. \( G(x)=-3 x^{-2}+8 x^{-5}-4 \)** Aquí los términos \(x^{-2}\) y \(x^{-5}\) tienen exponentes negativos. \(\Rightarrow\) No está bien definido como polinomio. - **j. \( F(x)=-6 \)** Es un polinomio constante (exponente \(0\)). \(\Rightarrow\) Está bien definido. 3. Conclusión: Los polinomios que están bien definidos son: - \( P(x) \) - \( Q(x) \) - \( M(x) \) - \( I(x) \) - \( C(x) \) (suponiendo que \(m\) y \(n\) son constantes) - \( D(x) \) - \( F(x) \) Los que no están bien definidos son: - \( R(x) \) (debido a \(x^{-2}\)) - \( A(x) \) (debido a \(x^{1/2}\)) - \( G(x) \) (debido a \(x^{-2}\) y \(x^{-5}\))