Arinomios $$ \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{\text { DIA }}{x-5} $$ $$ \frac{x^{2}-3 x-4}{x-4}=\frac{(x+2)(x+1}{x-4} $$

Question

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Analicemos ambas expresiones paso a paso:

1. Expresión 1:
  Se tiene: (x² – 25)/(x – 5).

Observa que el numerador es una diferencia de cuadrados, ya que
    x² – 25 = (x – 5)(x + 5).

Entonces:
    (x² – 25)/(x – 5) = [(x – 5)(x + 5)]/(x – 5).

Siempre y cuando x ≠ 5 (para evitar división por cero), se puede cancelar el factor (x – 5). Así, se obtiene:
    x + 5.

En el enunciado aparece que (x² – 25)/(x – 5) = DIA/(x – 5). Para que sean iguales, se debe tener:
    DIA = x + 5.

2. Expresión 2:
  Se tiene: (x² – 3x – 4)/(x – 4).

Para factorizar el numerador buscamos dos números cuyo producto sea –4 y cuya suma sea –3. Es decir, necesitamos números a y b tales que:
    a · b = –4  y  a + b = –3.
  Observa que 1 y –4 cumplen esto, ya que:
    1 · (–4) = –4  y  1 + (–4) = –3.

Por lo tanto:
    x² – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4).

El enunciado muestra la factorización como (x + 2)(x + 1), lo cual es incorrecto porque:
    (x + 2)(x + 1) = x² + 3x + 2.
  Por ello, la factorización correcta es (x + 1)(x – 4).

Ahora, se tiene:
    (x² – 3x – 4)/(x – 4) = [(x + 1)(x – 4)]/(x – 4).

Siempre que x ≠ 4 (para evitar división por cero), se cancela (x – 4) y se obtiene:
    x + 1.

En resumen:
 • La primera expresión se simplifica a x + 5, lo que implica que “DIA” en la igualdad equivale a x + 5.
 • La segunda expresión se simplifica a x + 1, y es importante notar que la factorización correcta es (x + 1)(x – 4), no (x + 2)(x + 1).

Recuerda siempre tener en cuenta las restricciones del dominio (x ≠ 5 para la primera y x ≠ 4 para la segunda expresión).
La primera expresión simplifica a $$ x + 5 $$ y la segunda a $$ x + 1 $$.

Arinomios \[ \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{\text { DIA }}{x-5} \] \( \frac{x^{2}-3 x-4}{x-4}=\frac{(x+2)(x+1}{x-4} \)

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