\( \begin{array}{l} \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+1} d x \\ 0 \\ =\int \frac{x+1}{x^{2}+1} d x+\int \frac{2 x+1}{x^{2}+1} d x \\ =x+1+\frac{2 x+1}{x^{2}+1} \\ \left.\begin{array}{l} u^{2}=x^{2} \\ \begin{array}{l} u=x \\ a^{2}=1 \\ a=1 \end{array} \quad d u=d x \end{array}\right\} \int \frac{x+1}{u^{2}+a^{2}} d u+\ln \left|x^{2}+1\right|+c \\ =x+1 \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}} d u+\operatorname{Ln}\left|x^{2}+1\right|+c \\ =x+1(1) \tan ^{-1}(x)+\ln \left|x^{2}+1\right|+c \\ =x+1 \tan ^{-1}(x)+\ln \left|x^{2}+1\right|+c_{11} \end{array} \)

Vamos a resolver la integral \( \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+1} \, dx \) paso a paso. 1. **Dividir la integral**: Primero, podemos dividir el numerador por el denominador para simplificar la integral. Esto se puede hacer separando los términos: \[ \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+1} \, dx = \int \left( x + \frac{1}{x^{2}+1} \right) \, dx \] Esto se obtiene al realizar la división polinómica. 2. **Integrar cada término**: Ahora, integramos cada parte por separado: \[ \int x \, dx + \int \frac{1}{x^{2}+1} \, dx \] La integral de \( x \) es: \[ \frac{x^2}{2} \] Y la integral de \( \frac{1}{x^{2}+1} \) es: \[ \tan^{-1}(x) \] Por lo tanto, la integral completa se convierte en: \[ \frac{x^2}{2} + \tan^{-1}(x) + C \] 3. **Resultado final**: Así que la solución a la integral \( \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+1} \, dx \) es: \[ \frac{x^2}{2} + \tan^{-1}(x) + C \] Donde \( C \) es la constante de integración.