El sistema de ecuaciones lineales \( \left\{\begin{array}{l}k x+y+z=1 \\ x+k y+z=1 \\ x+y+k z=1\end{array}\right. \). Tiene solución unica si: a. \( k \in \mathbb{R}-\{-2\} \). b. \( k \in \mathbb{R}-\{0\} \). c. \( k \in \mathbb{R} \) d. No hay solución única para ningun valor de \( k \). e. \( k \in \mathbb{R}-\{1,-2\} \)

Para determinar cuándo el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, podemos usar el concepto de determinante. Si el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, entonces el sistema tiene solución única. La matriz de coeficientes de tu sistema es: \[ \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix} \] Calculando el determinante, encontramos que es igual a \( (k-1)(k^2 + k - 2) \). Esto implica que el determinante se anula cuando \( k=1 \) o \( k=-2 \). Por lo tanto, el sistema tiene solución única para \( k \in \mathbb{R} - \{1, -2\} \). Para reforzar, es fundamental siempre comprobar el determinante en sistemas de ecuaciones lineales. Si resulta cero, significa que las ecuaciones son dependientes o no se intersectan, por lo tanto, no hay solución única. Este es un paso crítico que a menudo se pasa por alto, generando confusión en los resultados.