\( 5-10 \) Evalúe el límite y justifique cada paso al indicar la(s) Ley(es) de Límites apropiada(s). 5. \( \lim _{x \rightarrow 4}\left(5 x^{2}-2 x+3\right) \) 6. \( \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{3}+2\right)\left(x^{2}-5 x\right) \) 7. \( \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x-2}{x^{2}+4 x-3} \) 8. \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2 x+3}\right)^{2} \) 11-22 Evalúe el límite si existe. 11. \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2} \) 12. \( \lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}+3 x-4} \) 13. \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x+6}{x+2} \) 14. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-1} \) 15. \( \lim _{t \rightarrow-3} \frac{t^{2}-9}{2 t^{2}+7 t+3} \) 16. \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \) 17. \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{3}-8}{h} \) 18. \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x-2} \) 19. \( \lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} \) 20. \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h} \)

A continuación se presentan las soluciones de cada inciso, poniendo de relieve los pasos y las Leyes de Límites que se utilizan. ────────────────────────────── 5) Limite: limₓ→4 (5x² – 2x + 3) Paso 1. Como 5x² – 2x + 3 es un polinomio (función continua en ℝ), se aplica la “Ley de la Continuidad” o “Sustitución Directa”:   limₓ→4 (5x² – 2x + 3) = 5·(4)² – 2·4 + 3 Paso 2. Se evalúa:   5·16 – 8 + 3 = 80 – 8 + 3 = 75 Respuesta: 75 ────────────────────────────── 6) Limite: limₓ→3 [(x³ + 2)(x² – 5x)] Paso 1. Cada factor es un polinomio (continuo en ℝ) y se usa la “Ley del Producto” junto con la “Continuidád de los Polinomios”. Entonces:   limₓ→3 [(x³ + 2)(x² – 5x)] = [limₓ→3 (x³ + 2)] · [limₓ→3 (x² – 5x)] Paso 2. Sustitución directa:   limₓ→3 (x³ + 2) = 3³ + 2 = 27 + 2 = 29   limₓ→3 (x² – 5x) = 3² – 5·3 = 9 – 15 = –6 Paso 3. Producto:   29 · (–6) = –174 Respuesta: –174 ────────────────────────────── 7) Limite: limₓ→–1 (x – 2)/(x² + 4x – 3) Paso 1. Se verifica que al sustituir x = –1 el denominador no sea cero:   ––> Numerador: (–1 – 2) = –3   Denominador: (–1)² + 4(–1) – 3 = 1 – 4 – 3 = –6 Como el denominador ≠ 0, se aplica la “Ley de la Sustitución”:   limₓ→–1 (x – 2)/(x² + 4x – 3) = (–3)/(–6) = 1/2 Respuesta: 1/2 ────────────────────────────── 8) Limite: limₓ→1 {[(x⁴ + x² – 6)/(x⁴ + 2x + 3)]²} Paso 1. La función interior (cociente de polinomios) es continua en ℝ (pues el denominador al evaluarlo en x=1 no es 0). Se aplica la “Ley de la Potencia” junto con “Sustitución Directa”:   Primero se evalúa el interior:   x⁴ + x² – 6 en x = 1: 1 + 1 – 6 = –4   x⁴ + 2x + 3 en x = 1: 1 + 2 + 3 = 6 Así, la fracción vale: (–4/6) = –2/3. Paso 2. Como la función exterior es elevar al cuadrado (continua en ℝ):   limₓ→1 {[(x⁴ + x² – 6)/(x⁴ + 2x + 3)]²} = (–2/3)² = 4/9 Respuesta: 4/9 ────────────────────────────── 11) Limite: limₓ→2 (x² + x – 6)/(x – 2) Paso 1. Se observa que al sustituir x = 2 se tiene 2² + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 en el numerador y 0 en el denominador; se tiene indeterminación 0/0, por lo tanto se factoriza. Paso 2. Factorizamos el numerador:   x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2) Paso 3. Cancelamos el factor (x – 2) (válido para x≠2):   (x + 3)(x – 2)/(x – 2) = x + 3 Paso 4. Aplicamos “Ley de la Sustitución”:   limₓ→2 (x + 3) = 2 + 3 = 5 Respuesta: 5 ────────────────────────────── 12) Limite: limₓ→–4 (x² + 5x + 4)/(x² + 3x – 4) Paso 1. Factorizamos ambos polinomios:   Numerador: x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)   (Suponiendo: 1+4=5 y 1·4=4)   Denominador: x² + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1)   (porque 4·(–1)= –4 y 4+(–1)=3) Paso 2. Cancelamos el factor (x + 4), ya que x ≠ –4 en el proceso de límite:   La función equivalente es: (x + 1)/(x – 1) Paso 3. Sustitución:   limₓ→–4 (x + 1)/(x – 1) = (–4 + 1)/(–4 – 1) = (–3)/(–5) = 3/5 Respuesta: 3/5 ────────────────────────────── 13) Limite: limₓ→2 (x² – x + 6)/(x + 2) Paso 1. Como no se produce indeterminación, se aplica “Sustitución Directa”:   Numerador en x = 2: 2² – 2 + 6 = 4 – 2 + 6 = 8   Denominador: 2 + 2 = 4 Paso 2. División:   8/4 = 2 Respuesta: 2 ────────────────────────────── 14) Limite: limₓ→1 (x³ – 1)/(x² – 1) Paso 1. Se identifica indeterminación 0/0 al sustituir x = 1. Factorizamos:   x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)   [Factorización de diferencia de cubos]   x² – 1 = (x – 1)(x + 1)   [Factorización de diferencia de cuadrados] Paso 2. Cancelamos (x – 1):   La fracción se simplifica a: (x² + x + 1)/(x + 1) Paso 3. Sustitución:   limₓ→1 (x² + x + 1)/(x + 1) = (1 + 1 + 1)/(1 + 1) = 3/2 Respuesta: 3/2 ────────────────────────────── 15) Limite: limₜ→–3 (t² – 9)/(2t² + 7t + 3) Paso 1. Se observa indeterminación 0/0. Factorizamos:   Numerador: t² – 9 = (t – 3)(t + 3)   [diferencia de cuadrados]   Denominador: Se factoriza 2t² + 7t + 3. Buscamos dos números que multipliquen a (2·3 = 6) y sumen 7: 1 y 6.   Reescribimos: 2t² + t + 6t + 3 = t(2t + 1) + 3(2t + 1) = (2t + 1)(t + 3) Paso 2. Cancelamos el factor (t + 3), ya que t ≠ –3 en el proceso:   Obtenemos: (t – 3)/(2t + 1) Paso 3. Sustitución:   limₜ→–3 (t – 3)/(2t + 1) = (–3 – 3)/(2(–3) + 1) = (–6)/(–6 + 1) = (–6)/(–5) = 6/5 Respuesta: 6/5 ────────────────────────────── 16) Limite: limₕ→0 [√(1 + h) – 1] / h Paso 1. Se tiene indeterminación 0/0. Se puede resolver racionalizando o reconociendo que es la definición de la derivada de f(x) = √x en x = 1.   Aplicando la definición: f′(1) = 1/(2√1) = 1/2 O bien, racionalizando:  Multiplicamos numerador y denominador por [√(1+h)+1]:   = { [ (1+h) – 1 ] } / { h[√(1+h)+1] } = h/(h[√(1+h)+1]) = 1/(√(1+h)+1)   Luego, al tomar el límite h→0: 1/(√1+1)= 1/(1+1)= 1/2 Respuesta: 1/2 ────────────────────────────── 17) Limite: limₕ→0 [(2+h)³ – 8] / h Paso 1. Reconocemos indeterminación 0/0. Notamos que 8 = 2³. Además, este límite representa la derivada de f(x) = x³ en x = 2.   Por definición, f′(2) = 3·2² = 12 O expandiendo:   (2+h)³ = 8 + 12h + 6h² + h³   Luego, (2+h)³ – 8 = 12h + 6h² + h³   Dividiendo por h: 12 + 6h + h²   Límite cuando h→0: 12 Respuesta: 12 ────────────────────────────── 18) Limite: limₓ→2 (x⁴ – 16)/(x – 2) Paso 1. Se tiene indeterminación 0/0. Factorizamos el numerador:   x⁴ – 16 es diferencia de cuadrados doblemente:   x⁴ – 16 = (x²)² – (4)² = (x² – 4)(x² + 4)   Ahora, x² – 4 = (x – 2)(x + 2)   Por lo tanto, x⁴ – 16 = (x – 2)(x + 2)(x² + 4) Paso 2. Cancelamos (x – 2) (x ≠ 2):   La expresión se reduce a: (x + 2)(x² + 4) Paso 3. Sustitución:   limₓ→2 (x + 2)(x² + 4) = (2 + 2)[2² + 4] = 4·(4 + 4) = 4·8 = 32 Respuesta: 32 ────────────────────────────── 19) Limite: limₓ→7 [√(x + 2) – 3] / (x – 7) Paso 1. Al sustituir x=7: Numerador: √(7+2) – 3 = √9 – 3 = 3 – 3 = 0, Denominador: 7–7=0 → indeterminación 0/0.  Se puede usar el método de racionalización o interpretación como derivada. Procedimiento con racionalización:  Multiplicamos numerador y denominador por [√(x+2)+3]:   [√(