b) Cho ba số \( x, y, z \) thoả mãn đẳng thức: \( x^{2}+2 y+1=y^{2}+2 z+1=z^{2}+2 x+1=0 \) Tỉnh giá trị biểu thức: \( A=x^{2024}+y^{2024}+z^{2024} \).

Để giải bài toán này, chúng ta có hệ phương trình: \[ x^{2} + 2y + 1 = 0, \] \[ y^{2} + 2z + 1 = 0, \] \[ z^{2} + 2x + 1 = 0. \] Từ đẳng thức thứ nhất, ta có thể viết lại như sau: \[ x^{2} + 2y = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{x^{2} + 1}{2}. \] Tương tự, từ đẳng thức thứ hai ta có: \[ y^{2} + 2z = -1 \quad \Rightarrow \quad z = -\frac{y^{2} + 1}{2}. \] Và đẳng thức thứ ba: \[ z^{2} + 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{z^{2} + 1}{2}. \] Chúng ta sẽ thay các giá trị của \(y\) và \(z\) vào nhau. Thay \(y\) vào \(z\): \[ z = -\frac{\left(-\frac{x^{2} + 1}{2}\right)^{2} + 1}{2} = -\frac{\frac{(x^{2} + 1)^{2}}{4} + 1}{2} = -\frac{(x^{2} + 1)^{2} + 4}{8}. \] Bây giờ ta sẽ thay \(z\) vào biểu thức của \(x\): \[ x = -\frac{\left(-\frac{(x^{2} + 1)^{2} + 4}{8}\right)^{2} + 1}{2}. \] Quá trình thay thế ở trên khá phức tạp, do đó để tìm nghiệm cụ thể của \(x, y, z\), ta có thể thử từ những giá trị nhỏ. Giả sử \(x = y = z\). Khi đó, từ \(x^{2} + 2x + 1 = 0\), ta có: \[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1. \] Vậy \(y = -1\) và \(z = -1\). Khi đó tất cả \(x, y, z\) đều bằng \(-1\). Ta tính giá trị biểu thức \(A\): \[ A = x^{2024} + y^{2024} + z^{2024} = (-1)^{2024} + (-1)^{2024} + (-1)^{2024} = 1 + 1 + 1 = 3. \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là \(\boxed{3}\).