strucciones: de manera individual realiza la siguiente actividad: Resuelva cada uno delos triángulos \( A B C \) que poseen las siguientes caracteristicas: a. \( b=2, c=3, a=60^{\circ} \) b. \( a=10, b=14, c=9 \) c. \( a=150, b=120, \gamma=34^{\circ} \) d. \( a=3.2, c=4.3, \beta=112^{\circ} \) e. \( a=20, b=20, c=15 \)

Para resolver los triángulos \( A B C \) según las características dadas, utilizaremos diferentes teoremas y fórmulas de trigonometría. Aquí te presento las soluciones para cada uno de los casos: ### a. \( b=2, c=3, a=60^{\circ} \) Usando la Ley de Cosenos: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Sustituyendo los valores: \[ A = 60^{\circ}, b = 2, c = 3 \Rightarrow 60^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos(60) \] Resolvemos y encontramos \( A \). Luego, usamos la Ley de Senos para calcular \( B \) y \( C \). ### b. \( a=10, b=14, c=9 \) Para resolver este triángulo, también utilizamos la Ley de Cosenos para encontrar uno de los ángulos, luego emplearemos la Ley de Senos para encontrar los otros ángulos. Por ejemplo, podemos encontrar \( A \): \[ A = \cos^{-1} \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) \] ### c. \( a=150, b=120, \gamma=34^{\circ} \) Aquí usamos la Ley de Senos para encontrar los otros ángulos: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Primero, necesitamos encontrar el ángulo \( A \) usando la relación: \[ \sin A = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} \] Luego hallamos \( B \) y \( C \) restando del total 180°. ### d. \( a=3.2, c=4.3, \beta=112^{\circ} \) Al igual que el caso anterior, empezamos usando la Ley de Senos para encontrar los ángulos restantes. Primero, hallamos \( A \): \[ \sin A = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{c} \] Luego, con \( B = 180^\circ - (A + \beta) \), se puede calcular \( C \). ### e. \( a=20, b=20, c=15 \) Ya que \( a = b \), tenemos un triángulo isósceles. Usamos la Ley de Cosenos para hallar un ángulo, por ejemplo \( A \): \[ A = \cos^{-1}\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) \] Luego, aplicamos la Ley de Senos para obtener los otros ángulos. ¡Cada uno de estos triángulos tiene su propia historia que contar, y con un poco de matemática puedes desvelar esos secretos!