Determine el cociente al dividir: \( \frac{6 x^{3}-4 x^{2}-5 x+2}{x-3} \)

Para resolver la división \( \frac{6 x^{3}-4 x^{2}-5 x+2}{x-3} \), utilizamos la técnica de la división sintética o la división larga de polinomios. En este caso, vamos a aplicar la división larga. 1. Dividimos el primer término del numerador \( 6x^3 \) por el primer término del denominador \( x \) para obtener \( 6x^2 \). 2. Multiplicamos \( 6x^2 \) por \( x - 3 \) obteniendo \( 6x^3 - 18x^2 \). 3. Restamos \( 6x^3 - 18x^2 \) del numerador, que nos deja \( 14x^2 - 5x + 2 \). 4. Dividimos el primer término \( 14x^2 \) por \( x \) para obtener \( 14x \). 5. Multiplicamos \( 14x \) por \( x - 3 \) para obtener \( 14x^2 - 42x \). 6. Restamos esto del polinomio y obtenemos \( 37x + 2 \). 7. Dividimos \( 37x \) por \( x \) para obtener \( 37 \). 8. Multiplicamos \( 37 \) por \( x - 3 \) para obtener \( 37x - 111 \). 9. Finalmente, restamos \( 37x - 111 \) del polinomio y obtenemos \( 113 \). Por lo tanto, el cociente es: \[ 6x^2 + 14x + 37 \] y el residuo es \( 113 \). Así que podemos escribir la división completa como: \[ \frac{6 x^{3}-4 x^{2}-5 x+2}{x-3} = 6x^2 + 14x + 37 + \frac{113}{x-3} \]