22. (FGV) Sabendo que \( x \) pertence ao segundo quadrante e que sen \( x=\frac{1}{4} \), podemos afirmar que sen \( 2 x+\cos 2 x \) é igual a: \( \begin{array}{lll}\text { a) } \frac{5-\sqrt{15}}{4} & \text { b) } \frac{7+\sqrt{15}}{8} & \text { c) } 0 \\ \text { d) } \frac{7-\sqrt{15}}{8} & \text { e) } \frac{5+\sqrt{15}}{4}\end{array} \)

Para resolver a expressão \( \sin(2x) + \cos(2x) \) usando a identidade do seno duplo e do cosseno duplo, começamos aplicando as seguintes fórmulas: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Sabemos que \( \sin(x) = \frac{1}{4} \). Para encontrar \( \cos(x) \), devemos usar a identidade \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] Como \( x \) está no segundo quadrante, \( \cos(x) \) é negativo: \[ \cos(x) = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4} \] Substituindo os valores de \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \): \[ \sin(2x) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) \left( -\frac{\sqrt{15}}{4} \right) = -\frac{\sqrt{15}}{8} \] Agora, calculamos \( \cos(2x) \): \[ \cos(2x) = \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \] Agora podemos somar \( \sin(2x) \) e \( \cos(2x) \): \[ \sin(2x) + \cos(2x) = -\frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{7}{8} = \frac{7 - \sqrt{15}}{8} \] Portanto, a resposta correta é: \[ \boxed{\frac{7 - \sqrt{15}}{8}} \]