\( f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( x + 3 ) ^ { n } } { n ( n - 1 ) } \)

Para resolver a série infinita dada pela função \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + 3)^n}{n(n - 1)} \), vamos analisar a série e simplificá-la. 1. **Identificação da série**: A série começa com \( n = 0 \). No entanto, o termo \( n(n - 1) \) é zero para \( n = 0 \) e \( n = 1 \). Portanto, precisamos começar a soma a partir de \( n = 2 \): \[ f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + 3)^n}{n(n - 1)} \] 2. **Simplificação do termo**: O termo \( \frac{1}{n(n - 1)} \) pode ser reescrito usando frações parciais: \[ \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \] 3. **Reescrevendo a série**: Substituindo na série, temos: \[ f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n (x + 3)^n \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \right) \] 4. **Separando a soma**: Isso nos dá duas somas separadas: \[ f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + 3)^n}{n - 1} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + 3)^n}{n} \] 5. **Mudando o índice da soma**: Para a primeira soma, podemos mudar o índice para \( m = n - 1 \) e para a segunda soma, podemos manter o índice como está. Assim, obtemos: \[ f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m + 1} (x + 3)^{m + 1}}{m} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + 3)^n}{n} \] 6. **Identificação de séries conhecidas**: As somas que aparecem são séries de Taylor para funções logarítmicas e exponenciais. A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} z^n}{n} \) converge para \( -\ln(1 + z) \) para \( |z| < 1 \). 7. **Resultado final**: Portanto, podemos expressar \( f(x) \) em termos de funções conhecidas. A série converge para: \[ f(x) = -\ln(1 + (x + 3)) - \ln(1 + (x + 3)) + C \] onde \( C \) é uma constante de integração que pode ser determinada se tivermos condições iniciais. Assim, a função \( f(x) \) pode ser expressa como uma combinação de logaritmos, dependendo do intervalo de convergência.