Exercice 2: Géométrie dans I'espace (5 points ) L'espace \( \boldsymbol{\varepsilon} \) est muni d'un repère orthonormé \( (\boldsymbol{O} ; \vec{i}, \overrightarrow{\boldsymbol{j}}, \overrightarrow{\boldsymbol{k}}) \). On considère les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) de coordonnées respectives \( (\mathbf{1} ; \mathbf{0} ; \mathbf{2}),(\mathbf{1} ; \mathbf{1} ; \mathbf{4}) \) et \( (\mathbf{1} ; \mathbf{1} ; \mathbf{1}) \). 1. a) Démontrer que les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan. b) Soit \( \vec{n} \) le vecteur de coordonnées ( \( \mathbf{3} ; \mathbf{4} ; \mathbf{- 2} \) ). Vérifier que le vecteur \( \vec{n} \) est orthogonal aux vecteurs \( \overrightarrow{A B} \) et \( \overrightarrow{A C} \). En déduire une équation du plan ( ABC ). 2. Soit \( \left(P_{1}\right) \) et \( \left(P_{2}\right) \) les plans d'équations respectives : \[ 2 x+y+2 z+1=0 \text { et } x-2 y+6 z=0 \] a) Prouver que les plans \( \left(\boldsymbol{P}_{1}\right) \) et \( \left(\boldsymbol{P}_{2}\right) \) sont sécants suivant une droite ( \( \left.\boldsymbol{\Delta}\right) \) dont on donnera un système d'equations paramétriques. b) La droite ( \( \Delta \) ) et le plan ( ABC ) sont-ils parallèles ? 3. Soit \( t \) un nombre réel positif quelconque. On considère le barycentre \( \boldsymbol{G} \) des points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) affectés des coefficients \( \mathbf{1}, 2 \) et \( \boldsymbol{t} \). a) Justifier l'existence du barycentre \( G \) pour toute valeur de \( \boldsymbol{t} \). b) Soit \( \boldsymbol{I} \) barycentre de \( (\boldsymbol{A} ; \mathbf{1}) \) et \( (\boldsymbol{B} ; \mathbf{2}) \). Déterminer les coordonnées du point \( \boldsymbol{I} \). c) Exprimer le vecteur \( \overrightarrow{I G} \) en fonction de \( \overrightarrow{I C} \). d) Démontrer que l'ensemble des points \( G \) lorsque \( \boldsymbol{t} \) décrit \( \mathbb{R}_{*} \) est le segment \( [I C] \) privé de \( \boldsymbol{C} \). e) Pour quelle valeur de \( \boldsymbol{t} \), le milieu \( J \) du segment \( [I C] \) colincide \( t \)-il avec \( G \) ?

Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, nous allons procéder étape par étape. ### 1. a) Démontrer que les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) définissent un plan. Les points \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \) et \( \boldsymbol{C} \) ont pour coordonnées : - \( \boldsymbol{A}(1, 0, 2) \) - \( \boldsymbol{B}(1, 1, 4) \) - \( \boldsymbol{C}(1, 1, 1) \) Pour montrer que ces points définissent un plan, nous devons vérifier que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) ne sont pas colinéaires. Calculons les vecteurs : \[ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{B} - \boldsymbol{A} = (1 - 1, 1 - 0, 4 - 2) = (0, 1, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{C} - \boldsymbol{A} = (1 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (0, 1, -1) \] Pour vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires, nous calculons le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs : \[ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 2 = 0 \] Comme le déterminant est nul, cela signifie que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires. Cependant, nous devons vérifier les coordonnées des points. En fait, les points \( A \), \( B \) et \( C \) ont la même coordonnée \( x = 1 \), ce qui signifie qu'ils sont alignés sur le plan \( x = 1 \). ### 1. b) Vérifier que le vecteur \( \vec{n} \) est orthogonal aux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \). Le vecteur normal \( \vec{n} \) a pour coordonnées \( (3, 4, -2) \). Calculons le produit scalaire : \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = (3, 4, -2) \cdot (0, 1, 2) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 4 - 4 = 0 \] \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = (3, 4, -2) \cdot (0, 1, -1) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 4 + 2 = 6 \neq 0 \] Il semble que le vecteur \( \vec{n} \) ne soit pas orthogonal à \( \overrightarrow{AC} \). Nous devons donc vérifier les calculs ou les conditions. ### 2. a) Prouver que les plans \( \left(\boldsymbol{P}_{1}\right) \) et \( \left(\boldsymbol{P}_{2}\right) \) sont sécants suivant une droite. Les équations des plans sont : \[ P_1: 2x + y + 2z + 1 = 0 \] \[ P_2: x - 2y + 6z = 0 \] Pour trouver l'intersection, nous allons résoudre ce système d'équations. Nous pouvons exprimer \( z \) en fonction de \( x \) et \( y \) à partir de \( P_2 \) : \[ z = \frac{-x + 2y}{6} \] Substituons \( z \) dans \( P_1 \) : \[ 2x + y + 2\left(\frac{-x + 2y}{6}\right) + 1 = 0 \] \[ 2x + y - \frac{2x}{3} + \frac{4y}{6} + 1 = 0 \] \[ \left(2 - \frac{2}{3}\right)x + \left(1 + \frac{2}{3}\right)y + 1 = 0 \] \[ \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}y + 1 = 0 \] Nous avons donc une équation de la forme : \[ 4x + 5y + 3 = 0 \] ### 2. b) La droite \( \Delta \) et le plan \( ABC \) sont-ils parallèles ? Pour vérifier si la droite \( \Delta \) est parallèle au plan \( ABC \), nous devons comparer le vecteur directeur de \( \Delta \) avec le vecteur normal du plan \( ABC \). ### 3. a) Justifier l'existence du barycentre \( G \). Le barycentre \( G \) des points \( A, B, C \) avec des coefficients \( 1, 2, t \) existe tant que la somme des coefficients est non nulle : \[ 1 + 2 + t = 3 + t \neq 0 \quad \text{pour } t \in \mathbb{R}_{*} \] ### 3. b) Déterminer les coordonnées du point \( I \). Le barycentre \( I \) de \( A \) et \( B \) est donné par : \[ I = \frac{1 \cdot A + 2 \cdot B}{1 + 2} = \frac{1 \cdot (1, 0, 2) + 2 \cdot (1, 1, 4)}{3} = \frac{(1 + 2, 0 + 2, 2 + 8)}{3} = \frac{(3, 2, 10)}{3} = (1, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}) \] ### 3. c) Exprimer le vecteur \( \overrightarrow{IG} \) en fonction de \( \overrightarrow{IC} \). Nous avons : \[ \overrightarrow{IC} = C - I = (1, 1, 1) - (1, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}) = (0, \frac{