X0637 Considera l'equazione \( (k-1) x^{2}-2(k+2) x+k=0, \operatorname{con} k \neq 1 \). Determina per quali valori di \( k \) : \( \begin{array}{ll}\text { a. ammette soluzioni reali; } & \text { d. ammette soluzioni reali e concordi; } \\ \text { b. ammette soluzioni reali e opposte; } & \text { e. ammette soluzioni reali la cui somma è uguale al } \\ \text { c. ammette soluzioni reali antireciproche; } & \text { reciproco del loro prodotto. }\end{array} \)

Per risolvere l'equazione quadratica \( (k-1) x^{2}-2(k+2) x+k=0 \), dobbiamo analizzare il discriminante \( D \) dell'equazione, che è dato dalla formula: \[ D = b^2 - 4ac \] dove \( a = k-1 \), \( b = -2(k+2) \), e \( c = k \). Calcoliamo il discriminante: \[ D = [-2(k+2)]^2 - 4(k-1)(k) \] Semplifichiamo: \[ D = 4(k+2)^2 - 4(k-1)k \] \[ D = 4[(k+2)^2 - (k-1)k] \] Ora calcoliamo \( (k+2)^2 \) e \( (k-1)k \): \[ (k+2)^2 = k^2 + 4k + 4 \] \[ (k-1)k = k^2 - k \] Sostituiamo questi risultati nel discriminante: \[ D = 4[k^2 + 4k + 4 - (k^2 - k)] \] \[ D = 4[k^2 + 4k + 4 - k^2 + k] \] \[ D = 4[5k + 4] \] Quindi, il discriminante diventa: \[ D = 20k + 16 \] ### a. Soluzioni reali Per avere soluzioni reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: \[ 20k + 16 \geq 0 \] Risolvendo l'inequazione: \[ 20k \geq -16 \] \[ k \geq -\frac{16}{20} = -\frac{4}{5} \] ### b. Soluzioni reali e opposte Le soluzioni sono opposte se la loro somma è zero. La somma delle radici di un'equazione quadratica è data da \( -\frac{b}{a} \): \[ \text{Somma} = -\frac{-2(k+2)}{k-1} = \frac{2(k+2)}{k-1} \] Imponiamo che la somma sia zero: \[ \frac{2(k+2)}{k-1} = 0 \] Questo implica che \( k + 2 = 0 \), quindi: \[ k = -2 \] ### c. Soluzioni reali antireciproche Le soluzioni sono antireciproche se il prodotto delle radici è uguale a 1. Il prodotto delle radici è dato da \( \frac{c}{a} \): \[ \text{Prodotto} = \frac{k}{k-1} \] Imponiamo che il prodotto sia uguale a 1: \[ \frac{k}{k-1} = 1 \] Risolvendo: \[ k = k - 1 \implies 0 = -1 \quad \text{(non ha soluzioni)} \] ### d. Soluzioni reali e concordi Le soluzioni sono concordi se il discriminante è maggiore di zero: \[ 20k + 16 > 0 \] Risolvendo: \[ 20k > -16 \implies k > -\frac{4}{5} \] ### e. Somma uguale al reciproco del prodotto Imponiamo che la somma delle radici sia uguale al reciproco del loro prodotto: \[ \frac{2(k+2)}{k-1} = \frac{1}{\frac{k}{k-1}} \] Semplificando: \[ \frac{2(k+2)}{k-1} = \frac{k-1}{k} \] Moltiplicando entrambi i membri per \( k(k-1) \): \[ 2k(k+2) = (k-1)(k-1) \] Semplificando: \[ 2k^2 + 4k = k^2 - 2k + 1 \] Portando tutto a sinistra: \[ 2k^2 + 4k - k^2 + 2k - 1 = 0 \] \[ k^2 + 6k - 1 = 0 \] Ora risolviamo questa equazione quadratica usando il discriminante: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40 \] Le soluzioni sono: \[ k = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} \] ### Riepilogo delle soluzioni: - a. \( k \geq -\frac{4}{5} \) - b. \( k = -2 \) - c. Nessuna soluzione - d. \( k > -\frac{4}{5} \) - e. \( k = -3 \pm \sqrt{10} \)