5. Caleule todos las puntos de la grafica de \( g(x)=x^{3}-x+1 \) en los cuales la recta tangente es paralela a la recta \( y=2 x+5 \). 6. Determine los extremos locales de \( w(x)=e^{3 x^{4}+5 x^{3}} \). 7. Dada \( f(x)=x^{4}+4 x+1 \), responda:

Claro, a continuación se presentan las soluciones a los problemas 5 y 6. Respecto al problema 7, parece que falta la pregunta completa. Por favor, proporciónala para poder ayudarte mejor. --- ## **5. Encontrar todos los puntos de la gráfica de \( g(x) = x^{3} - x + 1 \) en los cuales la recta tangente es paralela a la recta \( y = 2x + 5 \).** **Solución:** 1. **Determinar la pendiente de la recta dada:** La pendiente de la recta \( y = 2x + 5 \) es \( m = 2 \). 2. **Encontrar la derivada de \( g(x) \) para obtener la pendiente de la recta tangente:** \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - x + 1) = 3x^{2} - 1 \] 3. **Igualar la derivada a la pendiente dada para encontrar los puntos donde la tangente es paralela:** \[ 3x^{2} - 1 = 2 \\ 3x^{2} = 3 \\ x^{2} = 1 \\ x = \pm 1 \] 4. **Calcular las coordenadas de los puntos:** - Para \( x = 1 \): \[ g(1) = (1)^{3} - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \\ \text{Punto: } (1, 1) \] - Para \( x = -1 \): \[ g(-1) = (-1)^{3} - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \\ \text{Punto: } (-1, 1) \] **Respuesta:** Los puntos en la gráfica de \( g(x) \) donde la recta tangente es paralela a \( y = 2x + 5 \) son \( (1, 1) \) y \( (-1, 1) \). --- ## **6. Determinar los extremos locales de \( w(x) = e^{3x^{4} + 5x^{3}} \).** **Solución:** 1. **Encontrar la derivada de \( w(x) \):** \[ w'(x) = e^{3x^{4} + 5x^{3}} \cdot (12x^{3} + 15x^{2}) \] 2. **Encontrar los puntos críticos donde \( w'(x) = 0 \):** Dado que \( e^{3x^{4} + 5x^{3}} > 0 \) para todo \( x \), se requiere que: \[ 12x^{3} + 15x^{2} = 0 \\ 3x^{2}(4x + 5) = 0 \] Por lo tanto: \[ x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\frac{5}{4} \] 3. **Analizar la concavidad o utilizar la prueba de la derivada segunda para determinar la naturaleza de los puntos críticos:** - **Para \( x = -\frac{5}{4} \):** - **Comportamiento de la derivada primera alrededor de \( x = -\frac{5}{4} \):** - **Para \( x < -\frac{5}{4} \)** (por ejemplo, \( x = -2 \)): \[ 12(-2)^{3} + 15(-2)^{2} = -96 + 60 = -36 \quad (\text{negativo}) \] - **Para \( x > -\frac{5}{4} \)** (por ejemplo, \( x = -1 \)): \[ 12(-1)^{3} + 15(-1)^{2} = -12 + 15 = 3 \quad (\text{positivo}) \] La derivada pasa de negativa a positiva, lo que indica un **mínimo local** en \( x = -\frac{5}{4} \). - **Para \( x = 0 \):** - **Comportamiento de la derivada primera alrededor de \( x = 0 \):** - **Para \( x < 0 \)** (por ejemplo, \( x = -0.1 \)): \[ 12(-0.1)^{3} + 15(-0.1)^{2} = -0.012 + 0.15 = 0.138 \quad (\text{positivo}) \] - **Para \( x > 0 \)** (por ejemplo, \( x = 0.1 \)): \[ 12(0.1)^{3} + 15(0.1)^{2} = 0.012 + 0.15 = 0.162 \quad (\text{positivo}) \] La derivada no cambia de signo, por lo que **no hay extremo local** en \( x = 0 \). 4. **Calcular el valor de \( w(x) \) en el punto de extremo local:** \[ w\left(-\frac{5}{4}\right) = e^{3\left(-\frac{5}{4}\right)^{4} + 5\left(-\frac{5}{4}\right)^{3}} = e^{3 \cdot \frac{625}{256} + 5 \cdot \left(-\frac{125}{64}\right)} = e^{\frac{1875}{256} - \frac{625}{64}} = e^{\frac{1875 - 2500}{256}} = e^{-\frac{625}{256}} \] **Respuesta:** La función \( w(x) = e^{3x^{4} + 5x^{3}} \) tiene un **mínimo local** en \( x = -\frac{5}{4} \) con un valor de \( w\left(-\frac{5}{4}\right) = e^{-\frac{625}{256}} \). --- ## **7. Dada \( f(x) = x^{4} + 4x + 1 \), responda:** *Parece que falta la pregunta completa para el problema 7. Por favor, proporciona más detalles para poder asistirte adecuadamente.* --- Si tienes alguna otra duda o necesitas ampliar alguna de las soluciones, no dudes en decírmelo.