Instrucciones. Resuelva las siguientes problemas. Anote el procedimiento que utilizo. 1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \). 2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \). 3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \). 4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq-1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad lim \( f(x)=f(a) \) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \). 5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \). 6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=3 \) ? 7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}(\sec x)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=\pi \) ? 8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \). 9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \). 10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \) ?

Claro, a continuación se resuelven los problemas planteados con sus respectivos procedimientos: --- **1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \).** **Procedimiento:** Para calcular este límite, podemos utilizar la aproximación de que, cuando \( x \) tiende a 0, \( \sin x \approx x \). Aplicamos esta aproximación tanto en el numerador como en el denominador: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin(2x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] **Respuesta:** \( \frac{1}{2} \) --- **2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \).** **Procedimiento:** Para encontrar el límite cuando \( x \) tiende a infinito, analizamos los términos de mayor grado en el numerador y denominador: \[ f(x) = \frac{-6x^2 + x - 1}{x^2 + 3} \] Dividimos numerador y denominador por \( x^2 \): \[ f(x) = \frac{-6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \] Al tomar el límite cuando \( x \) tiende a infinito, los términos con \( \frac{1}{x} \) y \( \frac{1}{x^2} \) tienden a 0: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{-6 + 0 - 0}{1 + 0} = -6 \] **Respuesta:** \( -6 \) --- **3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \).** **Procedimiento:** Al sustituir \( x = 1 \), obtenemos una indeterminación \( \frac{0}{0} \). Para resolverlo, racionalizamos el numerador multiplicando por el conjugado: \[ \frac{\sqrt{5x + 4} - 3}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{5x + 4} + 3}{\sqrt{5x + 4} + 3} = \frac{(5x + 4) - 9}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} = \frac{5x - 5}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} \] Factorizamos el numerador: \[ \frac{5(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{5x + 4} + 3)} = \frac{5}{\sqrt{5x + 4} + 3} \] Ahora, al sustituir \( x = 1 \): \[ \frac{5}{\sqrt{5(1) + 4} + 3} = \frac{5}{\sqrt{9} + 3} = \frac{5}{3 + 3} = \frac{5}{6} \] **Respuesta:** \( \frac{5}{6} \) --- **4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq -1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \).** **Procedimiento:** La función está definida para \( x \neq -1 \), pero se requiere que sea continua en \( x = -1 \). Por lo tanto, definimos \( f(-1) \) como el límite cuando \( x \) tiende a \(-1\): \[ f(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x e^{x} + e^{x}} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{e^{x}(x + 1)} \] Para \( x \neq -1 \), \( x + 1 \) no es cero, entonces podemos simplificar: \[ f(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{e^{-1}} = e \] **Respuesta:** \( f(-1) = e \) --- **5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \).** **Procedimiento:** La función \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \). Evaluamos el límite cuando \( x \) tiende a \( \frac{\pi}{2} \): \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Al acercarse \( x \) a \( \frac{\pi}{2} \), \( \cos x \) tiende a 0, pero depende de la dirección: - Si \( x \) se acerca por la izquierda, \( \cos x \) es positivo y pequeño, entonces \( \sec x \) tiende a \( +\infty \). - Si \( x \) se acerca por la derecha, \( \cos x \) es negativo y pequeño, entonces \( \sec x \) tiende a \( -\infty \). Como los límites laterales no coinciden, el límite no existe en un sentido finito. **Respuesta:** El límite no existe porque tiende a \( +\infty \) por la izquierda y a \( -\infty \) por la derecha. --- **6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=3 \) ?** **Procedimiento:** Primero, derivamos la función: \[ \frac{d}{dx}\left(x^{4} - 4x^{2} - 10x\right) = 4x^{3} - 8x - 10 \] Ahora, evaluamos en \( x = 3 \): \[ 4(3)^{3} - 8(3) - 10 = 4 \times 27 - 24 - 10 = 108 - 24 - 10 = 74 \] **Respuesta:** 74 --- **7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}(\sec x)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=\pi \) ?** **Procedimiento:** Primero, derivamos \( \sec x \): \[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \] Ahora, evaluamos en \( x = \pi \): \[ \sec \pi \tan \pi = \frac{1}{\cos \pi} \times \tan \pi = \frac{1}{-1} \times 0 = 0 \] **Respuesta:** 0 --- **8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \).** **Procedimiento:** Aplicamos la regla del cociente: \[ y = \frac{u}{v}, \quad u = x^{2} + 6x, \quad v = 10 - x^{2} \] Entonces: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \] Calculamos las derivadas: \[ u' = 2x + 6, \quad v' = -2x \] Sustituyendo: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 6)(10 - x^{2}) - (x^{2} + 6x)(-2x)}{(10 - x^{2})^{2}} \] Simplificamos el numerador: \[ (2x + 6)(10 - x^{2}) + 2x(x^{2} + 6x) = 20x + 60 - 2x^{3} - 6x^{2} + 2x^{3} + 12x^{2} = 32x + 60 + 6x^{2} \] Por lo tanto: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6x^{2} + 32x + 60}{(10 - x^{2})^{2}} \] **Respuesta:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6x^{2} + 32x + 60}{(10 - x^{2})^{2}} \] --- **9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \).** **Procedimiento:** Aplicamos la regla del producto: \[ g(x) = u \cdot v, \quad u = \sqrt{x}, \quad v = \sin x \] Las derivadas son: \[ u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad v' = \cos x \] Entonces: \[ g'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x \] Podemos factorizar \( \sqrt{x} \): \[ g'(x) = \sqrt{x} \left( \frac{\sin x}{2x} + \cos x \right) \] **Respuesta:** \[ g^{\prime}(x) = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x \] --- **10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \) ?** **Procedimiento:** La pendiente de la recta secante entre dos puntos \( (x_{1}, g(x_{1})) \) y \( (x_{2}, g(x_{2})) \) se calcula como: \[ m = \frac{g(x_{2}) - g(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \] En este caso, \( x_{1} = 0 \), \( x_{2} = 2 \): Calculamos \( g(0) \) y \( g(2) \): \[ g(0) = 3^{2 \cdot 0} = 3^{0} = 1 \] \[ g(2) = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4} = 81 \] Entonces: \[ m = \frac{81 - 1}{2 - 0} = \frac{80}{2} = 40 \] **Respuesta:** La pendiente de la recta secante es 40. ---