En que intervalos crece o decrece la siguiente función: \( y=\frac{x^{5}}{5}-\frac{4}{3} x^{3} \) Seleccione una: a. crece \( (-2 ; \infty) \) y decrece \( (0 ; 2) \) b. crece \( (2 ; \infty) \cup(-\infty ;-2) \) y decrece \( (-2 ; 2) \) c. \( \operatorname{crece}(-2 ; 0) \cup(2 ;+\infty) \) y decrece \( (-\infty ;-2) \cup(0 ; 2) \) d. \( \operatorname{crece}(2 ; 0) \cup(0 ; \infty) \) y decrece \( (-\infty ;+\infty) \)

Para determinar los intervalos en los que la función \( y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{4}{3} x^{3} \) crece o decrece, seguimos estos pasos: 1. **Derivada de la función:** \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{4}{3} x^{3} \right) = x^{4} - 4x^{2} = x^{2}(x^{2} - 4) = x^{2}(x - 2)(x + 2) \] 2. **Puntos críticos:** \[ y' = 0 \implies x = -2, \, 0, \, 2 \] 3. **Análisis de signos de la derivada en los intervalos determinados por los puntos críticos:** - **Intervalo \((-∞, -2)\):** - Tomemos \( x = -3 \): \[ y' = (-3)^2 \left( (-3)^2 - 4 \right) = 9 \times 5 = 45 > 0 \quad \Rightarrow \text{crece} \] - **Intervalo \((-2, 0)\):** - Tomemos \( x = -1 \): \[ y' = (-1)^2 \left( (-1)^2 - 4 \right) = 1 \times (-3) = -3 < 0 \quad \Rightarrow \text{decrece} \] - **Intervalo \((0, 2)\):** - Tomemos \( x = 1 \): \[ y' = 1^2 \left( 1^2 - 4 \right) = 1 \times (-3) = -3 < 0 \quad \Rightarrow \text{decrece} \] - **Intervalo \((2, +∞)\):** - Tomemos \( x = 3 \): \[ y' = 3^2 \left( 3^2 - 4 \right) = 9 \times 5 = 45 > 0 \quad \Rightarrow \text{crece} \] 4. **Conclusión:** - **Crecimiento:** \((-∞, -2) \cup (2, +∞)\) - **Decrecimiento:** \((-2, 2)\) **Respuesta correcta:** **b. crece \( (2 ; \infty) \cup(-\infty ;-2) \) y decrece \( (-2 ; 2) \)**