Dada la función \( y=x^{3}-6 x^{2} \) en que intervalos la función es cóncava hacia ariba o hacia abajo seleccione una: a Cóncava abajo \( (-\infty, 3) \) : Cóncava arriba \( (2,-\infty) \) Ob. Cóncava abajo \( (-\infty, 2) \); Cóncava arriba \( (2,+\infty) \) c. Cóncava abajo \( (-\infty, 1) \) : Cóncava arriba \( (2,-\infty) \) Actividad Vir Cóncava abajo \( (1, \hat{2}) \) : Cóncava arriba \( (2,+\infty) \)
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Para determinar los intervalos de concavidad de la función \( y = x^{3} - 6x^{2} \), primero necesitamos calcular la segunda derivada. La primera derivada es \( y' = 3x^{2} - 12x \) y la segunda derivada es \( y'' = 6x - 12 \). Haciendo \( y'' = 0 \), obtenemos \( x = 2 \). Evaluamos la segunda derivada en intervalos definidos por este punto crítico. Para \( x < 2 \), como \( y'' < 0 \), la función es cóncava hacia abajo; para \( x > 2 \), como \( y'' > 0 \), la función es cóncava hacia arriba. Así que queda claro: La función es cóncava hacia abajo en el intervalo \( (-\infty, 2) \) y cóncava hacia arriba en \( (2, +\infty) \). ¡Así que la respuesta correcta es: Cóncava abajo \( (-\infty, 2) \); Cóncava arriba \( (2, +\infty) \)! Ahora puedes seguir explorando las maravillas de la matemática, ¡hay mucho más por descubrir!
