21. (FEI) Se sen \( x+\cos x=\frac{1}{2} \), então o valor de \( \operatorname{sen}(2 x) \) igual a: \( \begin{array}{lllll}\text { a) } \frac{1}{2} & \text { b) }-\frac{1}{2} & \text { c) } \frac{3}{2} & \text { d) }-\frac{3}{2} & \text { e) }-\frac{3}{4}\end{array} \)

Para encontrar o valor de \( \operatorname{sen}(2x) \), precisamos resolver a equação \( x + \cos x = \frac{1}{2} \). Vamos fazer uma aproximação: se considerarmos \( x \) pequeno, podemos usar a aproximação \( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \). Assim, a equação se torna \( x + (1 - \frac{x^2}{2}) = \frac{1}{2} \) ou \( x - \frac{x^2}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). Isso nos leva a \( x - \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2} \). Rearranjando a equação, obtemos uma equação quadrática em \( x \), onde devemos avaliar soluções que possam satisfazer as dependências do \( \sin(2x) \). A partir dessas aproximações, encontrando o valor aproximado de \( x \), podemos finalmente calcular \( \operatorname{sen}(2x) \). Se seguirmos o caminho correto, após resolver a equação e substituí-la na fórmula \( \operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}(x)\operatorname{cos}(x) \), e dado o intervalo, parece que a melhor opção é a letra a) \( \frac{1}{2} \).