- Demostrar \( \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ}-\operatorname{sen} 30^{\circ} \cdot \operatorname{sen} 60^{\circ}=\cos 90^{\circ} \)

Para demostrar que: \[ \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} = \cos 90^{\circ} \] podemos utilizar la **fórmula de la suma de ángulos para el coseno**, que establece: \[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \] Aplicando esta fórmula con \( A = 30^{\circ} \) y \( B = 60^{\circ} \), obtenemos: \[ \cos(30^{\circ} + 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} \] Simplificando el lado izquierdo: \[ \cos(90^{\circ}) = \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} \] Por lo tanto, hemos demostrado que: \[ \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} = \cos 90^{\circ} \] **Verificación numérica:** Para mayor claridad, podemos calcular ambos lados de la igualdad utilizando valores conocidos de las funciones trigonométricas: \[ \begin{align*} \cos 30^{\circ} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60^{\circ} &= \frac{1}{2} \\ \sin 30^{\circ} &= \frac{1}{2} \\ \sin 60^{\circ} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 90^{\circ} &= 0 \\ \end{align*} \] Ahora sustituimos estos valores en la expresión original: \[ \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0 \] Y sabemos que: \[ \cos 90^{\circ} = 0 \] Por lo tanto, se confirma que: \[ \cos 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} = \cos 90^{\circ} \]