d) Determinar la dependencia de a y b para que el sistema tenga única solución \( \left\{\begin{array}{c}x+y=3 \\ 5 x-3 y=7 \\ a x+b y=5 b\end{array}\right. \)

Para que el sistema tenga una única solución, las líneas representadas por las ecuaciones deben ser distintas y no paralelas. Esto significa que los determinantes de los coeficientes de las variables deben ser diferentes de cero. En este caso, podemos utilizar la regla de Cramer. Así, debemos asegurarnos de que las ecuaciones sean consistentes y tengan un único punto de intersección, es decir, que el sistema de ecuaciones no sea de tipo dependiente. Con respecto a la tercera ecuación \(a x + b y = 5b\), se puede expresar como \(ax + by - 5b = 0\). Al analizar el sistema completo, uno necesita verificar que el determinante formado por los coeficientes de las variables (matriz de coeficientes) no sea cero. Por tanto, podemos requerir que \(a y b\) no sigan la misma proporción que los coeficientes de las otras ecuaciones, para garantizar que el sistema no se vuelva dependiente o inconsistente. En este caso, una relación útil es que \( \frac{1}{5} \neq \frac{3}{-a} \) debe cumplirse, donde el coeficiente de \(x\) en la segunda ecuación es \(5\) y en la tercera es \(a\), mientras que el coeficiente de \(y\) en la primera es \(1\) y en la tercera es \(b\). Así, buscamos valores de \(a\) y \(b\) que mantengan esta desigualdad.