Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 5ae2a+1. Se si aumenta il primo di 3a+2e si diminuisce il secondo di a, qual è la differenza tra la seconda e la prima area?

Consideriamo un triangolo rettangolo con cateti: - \( c_1 = 5a \) - \( c_2 = 2a+1 \) L'area del triangolo è data da \[ A_1 = \frac{1}{2}c_1c_2 = \frac{1}{2}\left(5a\right)\left(2a+1\right)=\frac{1}{2}\left(10a^2+5a\right). \] Il problema modifica il triangolo nel seguente modo: - Il primo cateto si aumenta di \(3a+2\), per cui diventa \[ c_1' = 5a + (3a+2) = 8a+2. \] - Il secondo cateto si diminuisce di \(a\), per cui diventa \[ c_2' = (2a+1) - a = a+1. \] L'area del nuovo triangolo è: \[ A_2 = \frac{1}{2} c_1'c_2' = \frac{1}{2} \left[(8a+2)(a+1)\right]. \] Calcoliamo il prodotto: \[ (8a+2)(a+1)=8a^2+8a+2a+2=8a^2+10a+2. \] Quindi: \[ A_2 = \frac{1}{2} (8a^2+10a+2) = 4a^2+5a+1. \] La differenza tra la seconda e la prima area è: \[ \Delta A = A_2 - A_1. \] Scriviamo \( A_1 \) in forma frazionaria: \[ A_1 = \frac{10a^2+5a}{2}. \] Pertanto: \[ \Delta A = \left(4a^2+5a+1\right) - \frac{10a^2+5a}{2}. \] Per poter operare più agevolmente, esprimiamo \(4a^2+5a+1\) con denominatore 2: \[ 4a^2+5a+1=\frac{8a^2+10a+2}{2}. \] Pertanto: \[ \Delta A = \frac{8a^2+10a+2 - (10a^2+5a)}{2}. \] Svolgiamo il numeratore: \[ 8a^2+10a+2-10a^2-5a = -2a^2+5a+2. \] Quindi la differenza è: \[ \Delta A = \frac{-2a^2+5a+2}{2}. \] Pertanto, la differenza tra la seconda e la prima area è \[ \boxed{\frac{-2a^2+5a+2}{2}}. \]