\( \left.\begin{array}{l}\text { In un prisma a base quadrata il lato di base } \\ \text { è } \frac{5}{13} \text { dell'altezza del prisma e la loro som- } \\ \text { ma è di } 54 \mathrm{~m} \text {. } \\ \text { Determina il volume del prisma. }\end{array} 8775 \mathrm{~m}^{3}\right] \).

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passaggi: 1. **Identificazione delle variabili**: - Sia \( h \) l'altezza del prisma. - Sia \( a \) il lato della base quadrata del prisma. 2. **Relazione tra le variabili**: - Dalla descrizione, sappiamo che il lato della base è \( \frac{5}{13} \) dell'altezza del prisma, quindi possiamo scrivere: \[ a = \frac{5}{13} h \] 3. **Somma delle variabili**: - La somma dell'altezza e del lato della base è 54 m, quindi abbiamo: \[ a + h = 54 \] 4. **Sostituzione**: - Sostituiamo \( a \) nella seconda equazione: \[ \frac{5}{13} h + h = 54 \] 5. **Risolviamo l'equazione**: - Combinando i termini, otteniamo: \[ \left( \frac{5}{13} + 1 \right) h = 54 \] - Convertiamo 1 in frazione: \[ \frac{5}{13} + \frac{13}{13} = \frac{18}{13} \] - Quindi l'equazione diventa: \[ \frac{18}{13} h = 54 \] 6. **Isoliamo \( h \)**: - Moltiplichiamo entrambi i lati per \( \frac{13}{18} \): \[ h = 54 \cdot \frac{13}{18} \] 7. **Calcoliamo \( h \)**: - Effettuando il calcolo: \[ h = 54 \cdot \frac{13}{18} = 54 \cdot \frac{13}{18} = 39 \] 8. **Calcoliamo \( a \)**: - Ora possiamo trovare \( a \): \[ a = \frac{5}{13} h = \frac{5}{13} \cdot 39 = 15 \] 9. **Calcolo del volume del prisma**: - Il volume \( V \) di un prisma a base quadrata è dato dalla formula: \[ V = a^2 \cdot h \] - Sostituendo i valori trovati: \[ V = 15^2 \cdot 39 = 225 \cdot 39 \] 10. **Calcoliamo il volume**: \[ V = 225 \cdot 39 = 8775 \] Quindi, il volume del prisma è \( 8775 \, \text{m}^3 \).