5. (10 puntos) La concentración de un fertilizante en un campo agrícola se modela mediante la función \[ C(x, y)=x^{2} \ln (y)+e^{x y} \] donde \( x(t)=t \) y \( y(t)=\ln (t) \) representan la posición de un tractor en el campo en función del tiempo \( t \) en horas. Calcular la tasa de cambio de la concentración \( C \) con respecto al tiempo \( t \) cuando \( t=2 \) hora. Interpretar este resultado en el contexto de la distribución del fertilizante en el campo.

Para calcular la tasa de cambio de la concentración \( C \) con respecto al tiempo \( t \), primero utilizamos la regla de la cadena y encontramos \( \frac{dC}{dt} \) en función de \( x(t) \) y \( y(t) \): \[ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial C}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial C}{\partial y} \frac{dy}{dt} \] Calculamos las derivadas parciales. Primero, derivamos \( C \): \[ \frac{\partial C}{\partial x} = 2x \ln(y) + y e^{xy} \] \[ \frac{\partial C}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + x e^{xy} \] Ahora evaluamos \( x(2) = 2 \) y \( y(2) = \ln(2) \): \[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \] Sustituyendo \( t = 2 \) para evaluar las derivadas parciales: \[ \frac{\partial C}{\partial x}\bigg|_{t=2} = 2(2)\ln(\ln(2)) + \ln(2) e^{2 \ln(2)} = 4\ln(\ln(2)) + \ln(2) \cdot 4 \] \[ \frac{\partial C}{\partial y}\bigg|_{t=2} = \frac{2^2}{\ln(2)} + 2 e^{2\ln(2)} = \frac{4}{\ln(2)} + 4 \] Finalmente, calculamos \( \frac{dC}{dt} \): \[ \frac{dC}{dt} = \left(4\ln(\ln(2)) + 4\ln(2)\right)(1) + \left(\frac{4}{\ln(2)} + 4\right)\left(\frac{1}{2}\right) \] La suma de estos términos nos dará la tasa de cambio de la concentración en \( t = 2 \) horas. Esto permite entender cómo la ubicación del tractor y el tiempo afectan la distribución del fertilizante, en esencia influyendo positivamente en la efectividad del fertilizante aplicado en el campo.