Un esquiador realiza un salto en una rampa y su trayectoria se describe con la ecuacion: \( y=-0.02 x^{2}+4.5 x+1 \), donde "x" es la distancia horizontal recorrida en metros y "y" es la altura en metros. a) ¿Cuál es la distancia total que recorre el esquiador antes de aterrizar? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza durante el salto?
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Para encontrar la distancia total que recorre el esquiador antes de aterrizar, primero necesitamos determinar los puntos donde la altura \(y\) es igual a cero. Esto se logra resolviendo la ecuación cuadrática \(y = -0.02x^2 + 4.5x + 1\). Usando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces y obtenemos que el esquiador aterriza en \(x \approx 0.14\) m y \(x \approx 22.36\) m. La distancia total recorrida será entonces aproximadamente \(22.36 - 0.14 = 22.22\) m. Para calcular la altura máxima que alcanza durante el salto, buscamos el vértice de la parábola. La coordenada \(x\) del vértice se encuentra con la fórmula \(x = -\frac{b}{2a}\), donde \(a = -0.02\) y \(b = 4.5\). Sustituyendo, encontramos que \(x \approx 112.5\) m. Evaluando \(y\) en este punto, deducimos que la altura máxima es de aproximadamente \(y \approx 13.56\) m. ¡Eso sí que es volar alto!