Un esquiador realiza un salto en una rampa y su trayectoria se describe con la ecuacion: $$ y=-0.02 x^{2}+4.5 x+1 $$, donde "x" es la distancia horizontal recorrida en metros y "y" es la altura en metros. a) ¿Cuál es la distancia total que recorre el esquiador antes de aterrizar? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza durante el salto?

Question

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Primero se identifica la ecuación de la trayectoria:

$$
y = -0.02x^2 + 4.5x + 1
$$

donde $$x$$ es la distancia horizontal en metros y $$y$$ la altura en metros.

---

**a) Distancia total recorrida**

El esquiador aterriza cuando $$y = 0$$. Por lo tanto, se debe resolver:

$$
-0.02x^2 + 4.5x + 1 = 0
$$

Para simplificar los cálculos, multiplicamos ambos lados de la ecuación por $$-50$$ (ya que $$-50 \times -0.02 = 1$$):

$$
x^2 - 225x - 50 = 0
$$

Esta es una ecuación cuadrática de la forma $$x^2 + bx + c = 0$$ con $$b = -225$$ y $$c = -50$$. La solución se obtiene usando la fórmula general:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Identificando $$a=1$$, $$b=-225$$ y $$c=-50$$, se tiene:

$$
x = \frac{-(-225) \pm \sqrt{(-225)^2 - 4(1)(-50)}}{2 \cdot 1} = \frac{225 \pm \sqrt{225^2 + 200}}{2}
$$

Calculamos el discriminante:

$$
225^2 = 50625,\quad 50625 + 200 = 50825
$$

Entonces,

$$
x = \frac{225 \pm \sqrt{50825}}{2}
$$

Como $$x$$ representa una distancia y debe ser positiva, se toma la raíz positiva:

$$
x = \frac{225 + \sqrt{50825}}{2}
$$

Aproximadamente, $$\sqrt{50825} \approx 225.45$$, por lo que:

$$
x \approx \frac{225 + 225.45}{2} \approx \frac{450.45}{2} \approx 225.22 \text{ metros}
$$

Por lo tanto, la distancia total que recorre el esquiador es aproximadamente $$225.22$$ metros.

---

**b) Altura máxima alcanzada**

La trayectoria es una parábola que abre hacia abajo (porque el coeficiente de $$x^2$$ es negativo), por lo que el vértice representa la altura máxima. El valor de $$x$$ en el vértice se halla con:

$$
x_v = -\frac{b}{2a}
$$

En nuestra ecuación, $$a = -0.02$$ y $$b = 4.5$$. Entonces,

$$
x_v = -\frac{4.5}{2(-0.02)} = \frac{4.5}{0.04} = 112.5 \text{ metros}
$$

Sustituyendo $$x_v$$ en la ecuación para obtener la altura máxima:

$$
y(112.5) = -0.02(112.5)^2 + 4.5(112.5) + 1
$$

Calculamos:

$$
(112.5)^2 = 12656.25
$$
$$
-0.02(12656.25) = -253.125
$$
$$
4.5(112.5) = 506.25
$$

Entonces,

$$
y(112.5) = -253.125 + 506.25 + 1 = 254.125 \text{ metros}
$$

Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el esquiador es aproximadamente $$254.13$$ metros.

---

**Finalmente:**

a) La distancia total horizontal recorrida es de aproximadamente $$225.22$$ metros.

b) La altura máxima alcanzada en el salto es de aproximadamente $$254.13$$ metros.
a) El esquiador recorre aproximadamente 225.22 metros antes de aterrizar. b) Alcanza una altura máxima de aproximadamente 254.13 metros durante el salto.

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