2- $$ a $$-Montrer que l'équation $$ P(x)=0 $$ est équivalente à l'équation: $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 $$. $$ b $$-Résoudre dans IR l'équation: $$ X^{2}-5 X+6=0 $$. $$ c $$ (En déduire les solutions de l'équation: $$ P(x)=0 $$.

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### a) Montrer que l'équation $$ P(x)=0 $$ est équivalente à l'équation $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 $$.

1. **Définissons $$ y = x + \frac{1}{x} $$**. 
   Cela nous permet de reformuler l'équation $$ P(x) = 0 $$ en termes de $$ y $$.

2. **Calculons $$ y^2 $$** :
   $$
   y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
   $$
   Donc, on peut écrire :
   $$
   y^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}
   $$

3. **Substituons dans l'équation** :
   L'équation $$ P(x) = 0 $$ peut être réécrite en utilisant $$ y $$ :
   $$
   y^2 - 5y + 6 = 0
   $$
   Cela montre que $$ P(x) = 0 $$ est équivalente à $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 $$.

### b) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ X^{2}-5X+6=0 $$.

Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser la formule quadratique :
$$
X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
où $$ a = 1 $$, $$ b = -5 $$, et $$ c = 6 $$.

1. **Calculons le discriminant** :
   $$
   D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
   $$

2. **Calculons les solutions** :
   $$
   X = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}
   $$
   Cela nous donne :
   $$
   X_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{4}{2} = 2
   $$

### c) En déduire les solutions de l'équation $$ P(x)=0 $$.

Nous avons trouvé que $$ y = x + \frac{1}{x} $$ doit être égal à 2 ou 3. Nous allons maintenant résoudre ces deux cas.

1. **Pour $$ y = 2 $$** :
   $$
   x + \frac{1}{x} = 2
   $$
   Multiplions par $$ x $$ :
   $$
   x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1
   $$

2. **Pour $$ y = 3 $$** :
   $$
   x + \frac{1}{x} = 3
   $$
   Multiplions par $$ x $$ :
   $$
   x^2 - 3x + 1 = 0
   $$
   Calculons le discriminant :
   $$
   D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5
   $$
   Les solutions sont :
   $$
   x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
   $$

### Conclusion

Les solutions de l'équation $$ P(x) = 0 $$ sont :
$$
x = 1, \quad x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
$$
Les solutions de l'équation $$ P(x) = 0 $$ sont $$ x = 1 $$, $$ x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$, et $$ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $$.

2- \( a \)-Montrer que l'équation \( P(x)=0 \) est équivalente à l'équation: \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 \). \( b \)-Résoudre dans IR l'équation: \( X^{2}-5 X+6=0 \). \( c \) (En déduire les solutions de l'équation: \( P(x)=0 \).

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