Encuentre el área encerrada entre las funciones \( y = \frac{x}{2} + 3 \) y \( y = x^2 + 1 \) en el intervalo \( [0,3] \).

Para encontrar el área encerrada entre las funciones \( y = \frac{x}{2} + 3 \) y \( y = x^2 + 1 \) en el intervalo \( [0,3] \), seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección**: Primero, necesitamos encontrar los puntos donde las dos funciones se cruzan. Esto se hace igualando las dos ecuaciones: \[ \frac{x}{2} + 3 = x^2 + 1 \] 2. **Reorganizar la ecuación**: Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación: \[ x^2 - \frac{x}{2} - 2 = 0 \] 3. **Multiplicar por 2 para eliminar el denominador**: \[ 2x^2 - x - 4 = 0 \] 4. **Resolver la ecuación cuadrática**: Usamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 2 \), \( b = -1 \), y \( c = -4 \). 5. **Calcular el discriminante**: \[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33 \] 6. **Encontrar las raíces**: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4} \] 7. **Determinar las raíces**: Calculamos los valores de \( x \): \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{4} \] Solo \( x_1 \) está en el intervalo \( [0,3] \). 8. **Calcular el área**: El área encerrada entre las dos curvas se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior en el intervalo dado. Primero, determinamos cuál función es superior en el intervalo \( [0,3] \). Evaluamos ambas funciones en \( x = 0 \) y \( x = 3 \): - Para \( x = 0 \): \[ y_1 = \frac{0}{2} + 3 = 3, \quad y_2 = 0^2 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y_1 > y_2 \] - Para \( x = 3 \): \[ y_1 = \frac{3}{2} + 3 = 4.5, \quad y_2 = 3^2 + 1 = 10 \quad \Rightarrow \quad y_2 > y_1 \] Por lo tanto, la función superior en el intervalo \( [0,3] \) es \( y = x^2 + 1 \) y la función inferior es \( y = \frac{x}{2} + 3 \). 9. **Configurar la integral**: \[ \text{Área} = \int_0^3 \left( (x^2 + 1) - \left( \frac{x}{2} + 3 \right) \right) \, dx \] Simplificamos la integral: \[ \text{Área} = \int_0^3 \left( x^2 - \frac{x}{2} - 2 \right) \, dx \] 10. **Calcular la integral**: Ahora, calculamos la integral: \[ \text{Área} = \int_0^3 \left( x^2 - \frac{x}{2} - 2 \right) \, dx \] Realizamos el cálculo de la integral: \[ \text{Área} = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} - 2x \right]_0^3 \] Evaluamos en los límites: \[ = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{4} - 2(3) \right) - \left( 0 \right) \] \[ = \left( 9 - \frac{9}{4} - 6 \right) \] \[ = 9 - 6 - \frac{9}{4} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \] Por lo tanto, el área encerrada entre las funciones \( y = \frac{x}{2} + 3 \) y \( y = x^2 + 1 \) en el intervalo \( [0,3] \) es: \[ \text{Área} = \frac{3}{4} \]