Zu Testzwecken wird eine $$ 4 \mathrm{~mm}^{2} $$ große Probe einer Bakterien- kultur in einer Petrischale (d=10cm) mit Nährlösung in einen Inkubator gestellt. Man beobachtet eine Verdopplung der Fläche in 4 Stunden. a) Geben Sie die Größe der Fläche dieser Kultur nach 4 Stunden, 12 Stunden, 24 Stunden, 3 Tagen und 5 Tagen an. b) Begründen Sie, warum man die Größe der Fläche nach einer Zeit mit der Funktion $$ \mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \cdot 2^{\frac{\mathrm{x}}{4}} $$ darstellen lässt. c) Die Fläche der Petrischale bildet eine natürliche Grenze für die Ausdehnung der Bakterien. Wann wird diese Grenze voraussichtlich erreicht? d) Interpretieren Sie f(-4) im Sachzusammenhang. e) Berechnen Sie die durchschnittliche Flächenzunahme in den ersten acht Stunden mit Hilfe der Graphik rechts.

Question

Young Johnson · Accepted Answer

1. Nach 4 Stunden: 8 mm² 2. Nach 12 Stunden: 32 mm² 3. Nach 24 Stunden: 256 mm² 4. Nach 3 Tagen: 1048576 mm² 5. Nach 5 Tagen: 4294967296 mm² 6. Die Funktion $$ f(x) = 4 \cdot 2^{\frac{x}{4}} $$ beschreibt das exponentielle Wachstum der Bakterienkultur. 7. Die natürliche Grenze wird voraussichtlich nach etwa 44 Stunden erreicht. 8. $$ f(-4) $$ gibt die Fläche der Bakterienkultur 4 Stunden vor dem Startzeitpunkt an, das ist 2 mm². 9. Die durchschnittliche Flächenzunahme in den ersten 8 Stunden beträgt 1.5 mm²/Stunde.

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