(a) Let \( f \) be a continuous function on \( [0,1] \) and differentiable on \( (0,1) \). Let also \( f(0)= \) \( f(1)=0 \). Prove that there exists a point \( c \in(0,1) \) such that \( f^{\prime}(c)=f(c) \). (Hint use \( \left.g(x)=f(x) e^{-x}\right) \). (b) If \( f^{\prime}(x)=0 \) at each point in an open interval \( (a, b) \). Prove that \( f \) is a constant on the interval \( (a, b) \). (c) Show that the equation \( \cos x=x \) has a root between 0 and 1 . (cos,\( =0 \) (d) Where is \( f(x)=x e^{2 x} \) increasing or decreasing?

\( \int _{}^{}\frac{1}{e^{x^{2}}}e^{\int _{}^{}2 d x} d x \)

4-р хэсэг. Бодолтыг хийнэ. 2 оноо 1. \( y=x^{3}-3 x^{2}-9 x+4 \) функцийн хотойх, гүдийх завсар олоорой.

\( \int _{}^{}\frac{1}{e^{x^{2}}}e^{\int _{}^{}2 d x} d x \)

\[ f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1} \] a. El dominio de \( f \). b. El dominio de continuidad de \( f \). c. \( f^{\prime}(x) y f^{\prime \prime}(x) \) d. Los puntos críticos de f. e. Los extremos relativos de f. f. Los puntos de inflexión de \( f \). g. Los intervalos en que \( f \) es creciente \( y \) h. Los intervalos en que \( f \) es cóncava hacia i. Los cortes con los ejes. j. Las asíntotas verticales, horizontales \( u \) k. Con la información recompilada, dibuje la k. Gráfica de f.

Aufgabe 2 (3 Punkte). (a) Zeigen Sie mit 7.21 und 7.28 , dass für alle \( q \in \mathbb{C} \) mit \( |q|<1 \) gilt \[ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}} \] (b) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( a_{n}=b_{n}=(-1)^{n} / \sqrt{n+1} \). Zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \) der konvergenten Reihen \( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} \) divergiert (Hinweis: Zeigen Sie, dass \( \left(c_{n}\right) \) keine Nullfolge ist und benutzen Sie dann 7.11\( ) \).